函数的周期性与对称性

从而f(x)在(0,e)单调递增,在(e,??)单调递减.

1.????????????????????4分 2e11lnx1（2）证明：?f(x)极大?f(e)?. ?f(x)? ?2?

2e2ex2e12 ?lnx?x2 ?2elnx?x2e212，12eln?222分别令x?1,2,3,?,n ?2eln?，? 2elnn?n

?2e(ln1?ln2?ln3???lnn)?12?22?32???n2

n(n?1)(2n?1) ?2eln[n?(n?1)?(n?2)?2?1]?62 ?12eln[n?(n?1)?(n?2)?2?1]?(n?n)(2n?1)(n?N*)??????????9分

a?0(a?R?)有唯一解 ?a?1 （3）由（1）的结论：方程f(x)?2eax2?2tx?t2方程g(x)?txf?(x)?有唯一解 即：?0x?2tlnx?2tx?0(x?0)有唯一解 2x22设G(x)?x2?2tlnx?2tx?0(x?0) ?G?(x)?(x?tx?t)

x22由?G?(x)?0则x?tx?t?0 设x?tx?t?0的两根为x1,x2，不妨设x1?x2 f(x)极大?f(e)?t?t2?4tt?t2?4t?t?0 ?x1?0?x2 ?x1? ,x2?22?G(x)在(0,x2)递减，(x2,??)递增

要使G(x)?x2?2tlnx?2tx?0(x?0)有唯一解，则G(x2)?0 即：x22?2tlnx2?2tx2?0 ①

又x22?tx2?t?0② 由①②得：2tlnx2?tx2?t?0 即：2lnx2?x2?1?0

?x2?1 ，又x2是方程x2?tx?t?0的根

1t?t2?4t ?t???????????????????14分 ?1?x2?22

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