高一数学下学期期末考试试题（含解析）苏教版

?|log2x|,?14．已知函数f(x)??22若a,b,c,d互不相同，且70x?8x?,x?4.?3?3f(a)?f(b)?f(c)?f(d)，则abcd的取值范围是 ．

0?x?4,

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

已知向量a，b的夹角为60?，且|a|?1，|2a－b|=23． （1）求|b|；

5

??解：（1）将|2a－b|=23两边平方得4a2+b2-4|a||b|cos?a,b?=12，????4分

（2）求b与2a－b的夹角．

即b2-2|b|-8=0，解得|b|=4． ????7分

??1（2）?b?（2a－b）=2ab?b2=2?1?4?=?12，

2又|b||2a-b|=4?23=83， ???10分 由夹角公式得b与2a－b夹角的余弦值为16．（本小题满分14分）

某企业生产A，B，C三种产品，每种产品有M和N两个型号．经统计三月下旬该企业的产量如下表（单位：件）．用分层抽样的方法从这月下旬生产的三种产品中抽取50件调查，其中抽到A种产品10件． （1）求x的值；

（2）用分层抽样方法在C产品中抽取一个容量为5的样本，将该样本看作一个总体，

从中任取两件，求至少有一件是M型号的概率；

（3）用随机抽样的方法从C产品中抽取8件产品做用户满意度调查，经统计它们的得

分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把8件产品的得分看作一个样本，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值超过0.5的概率．

?1283??3，?夹角为150?．???14分 2A 200 200 B 300 700 C 240 M N

x 解：（1）产品A的产量为400，从中抽取样本容量为10，故按1∶40的比例抽取， 同理产品B的产量为1000，按1∶40的比例抽取，从中抽取样本容量为25， 所以产品C应抽取件数为15，故

115，解得x?360； ????4分 ?40240?x（2）用分层抽样方法在C产品中抽取一个容量为5的样本，则M型号有2件，N型号有3件，从中任取两件所有的情况有：（M1，M2），（N1，N2），（N1，N3），（N2，N3），（M1，N1），（M1，N2），（M1，N3），（M2，N1），（M2，N2），（M2，N3），共10种.

故至少有一件是M型号的有（M1，M2），（M1，N1），（M1，N2），（M1，N3），（M2，N1），（M2，N2），（M2，N3），共有7种，所以至少有一件是M型号的概率P1?7；??9分 10（3）9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2这8个数据的平均数为9，则与9差

6

的绝对值超过0.5的有9.6，8.2，所以与样本平均数之差的绝对值超过0.5的概率

P2?21??14分 8417．（本小题满分14分）

如图，在半径为R、圆心角为60?的扇形AB弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M，N在OB上，设?BOP??，矩形PNMQ的面积记为S． （1）求S与?之间的函数关系式；

（2）求矩形PNMQ面积的最大值及相应的?值．

A

Q P

O

M N

B

解：（1）在Rt?PON中，PN?Rsin?,ON?Rcos?.

?四边形PNMQ为矩形，?MQ?PN?Rsin?. ????2分 故在Rt?OMQ中，OM?MQ3?Rsin?，

tan60?33Rsin?. ????4分 33Rsin?). ????6分 3所以MN?ON?OM?Rcos??则S?PN?MN?Rsin?(Rcos???R2(sin?cos??32131?cos2?3232sin?)?R2(sin2??)?Rsin(2??30?)?R?11分 3232363232R?R， 36（2）因为当2??30??90?时，sin(2??30?)max?1，所以当??30?时，Smax?所以矩形PNMQ面积的最大值为18．（本小题满分16分）

已知锐角三角形ABC中，sin(A?B)?32R，?BOP?30?. ????14分 631，sin(A?B)?． 55tanA的值； tanB（2）求tanB的值． （1）求

解：（1）?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB?3① ????2分 51② ????4分 5421①+②得2sinAcosB?，?sinAcosB?③ cosAsinB?④

555tanA?2． ????7分 ③/④得：

tanBsin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB?

7

（2）??ABC是锐角三角形，

又A?B???C,0?C??2，??2?A?B??，sin(A?B)?35， ?tan(A?B)??3tanA?tanB34，即1?tanAtanB??4．????10分

由（1）tanA?2tanB，?3tanB1?2tan2B??34，

即2tan2B?4tanB?1?0，tanB?4?244． ????14分

?B是锐角，?tanB?1?62． ????16分 19．（本小题满分16分）

已知函数f(x)?cos2x?2asinx?a?1，a?R．

（1）当a?0时，求函数f(x)的最小正周期和单调增区间； （2）求f(x)在x?[???3,6]上的最大值m(a)．

解：（1）当a?0时，f(x)?cos2x?1?12(cos2x?1)．

易得周期T??,单调增区间为[k???2,k???](k?Z)． ????5分 （2）将函数f(x)?cos2x?2asinx?a?1变形为

f(x)??sin2x?2asinx?a，x?[???3,6]．

设t?sinx,则t?[?32,12]， 即求函数h(t)??t2?2at?a在t?[?32,12]上的最大值m(a)．????8分 ①当?a??3312时，h(t)在[?2,2]上单调递减，

?m(a)?h(?32)??34?(3?1)a． ????10分

②当?a?12时，h(t)在[?32,12]上单调增，?m(a)?h(112)??4???12分③当?32??a?12时，?m(a)?a?a2． ????14分

???34?(3?1)a,a?3,?2综上所述，m(a)????1,a??1, ????16分

?42??2?a?a,?12?a?32.

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20．（本小题满分16分）

已知圆M的方程为(x?2)2?y2?1，直线l的方程为y?2x，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B． （1）若?APB?60?，试求点P的坐标；

（2）求???PA?????PB?的最小值；

（3）求证：经过A,P,M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标． 解：（1）设P(m,2m)，由题可知MP?2，所以(2m)2?(m?2)2?4， 解之得m?0,m?45．故所求点P的坐标为P(0,0)或P(485,5)． ???4分 （2）设P(m,2m)，则??PA??????PB??|??PA??|2cos?PAB．

又|??PA??|2?PM2?1,cos?PAB?1?2sin2?PAB22?1?PM2， ???PA??????PB??|??PA??|2cos?PAB?(PM2?1)(1?22PM2)?PM2?PM2?3．???7分

又PM2?(m?2)2?(2m)2?5m2?4m?4?[165,??)，

????PA?????PB??|???PA?|2cos?PAB?PM2?22233PM2?3?(PM?PM)?1?[40,??)，

故???PA?????PB?的最小值3340． ????10分

（3）设P(m,2m)，MP的中点Q(m2?1,m)，因为PA是圆M的切线， 所以经过A,P,M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆， 故其方程为(x?m2?1)2?(y?m)2?m2?(m2?1)2， 化简得x2?y2?2x?m(?x?2y?2)?0， ????13分

?2?x2?y2故??2x?0,?xx?,x?2y?2?0解得?2??5???或?y?0?4 ???y?5.所以经过A,P,M三点的圆必过定点(2,0)和(2,455)． ????16分

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