苏科版八年级数学上册《3章 勾股定理 数序活动 探寻“勾股数”》公开课教案 - 0

勾股数的探索

教学目标：

1. 通过我们对勾股数深入的探索，由简单的勾股数发现其内在的规律，进行对勾股数计算、证明，会写一些勾股数。 2. 经历用多种方法探索勾股数，体验勾股定理的文化价值。 3. 培养学生勤于实践，勇于发现，乐于创新的学习品质，激发学生感受科学思维的价值。

教学重点：由简单的勾股数发现其内在的规律，探索一些复杂的勾股数，对勾股数进行计算、证明，能很快写出一些勾股数。 教学难点：对勾股数进行计算、证明。 教学过程：

1.介绍勾股定理史（带领学生阅读勾股定理史，进一步了解我国古代对勾股定理的研究情况）

勾股定理有十分悠久的历史,几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究,希腊著名数学家毕达哥拉斯曾对本定理有所研究,故西方国家均称此定理为毕达哥拉斯定理,据说毕达哥拉斯十分喜爱这个定理,当他在公元前550前年左右发现这个定理时,宰杀了百头牛羊以谢神的默示．但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传．著名的希腊数学家欧几里得在巨著《几何原本》中给出一个很好的证明.（书上有）

我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成直角，如果勾等于三、股等于四，

那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”。它被记载于我国古代数学著作《周髀算经》中。三国的赵爽,在他的数学文献《勾股圆方图》中运用弦图,巧妙的证明了勾股定理． 温习旧知

问题1：勾股定理的内容是什么？

（直角三角形的两条边的平方和等于第三条边的平方）

在数学史上，有许多数学家专门研究过一类数，这些正整数（a,b,c）满足关系式a2?b2?c2，满足这样关系的正整数（a,b,c）叫做勾股数。 问题3：你能写出多少组勾股数？请尽可能多地写出来。（课前布置学生每人快速写出5组，并判断是否是勾股数，课堂中直角进行交流。）

（展示写出的勾股数）

（师：你怎样不使用计算器很快写出这5组勾股数的？）

师：为了便于研究勾股数，对于相同整数倍的勾股数，研究时只选择最小的那一组。下面请大家重新选择一些符合刚才特点的勾股数。 （展示写出的勾股数）

师：验证这些数组是否为勾股数，有简单方法吗？ （平方差公式）

师：平方差公式使用起来会很方便，尤其是遇到数据很大的时候。 问题4：继续探索问题1勾股数的规律

（你们写的这些勾股数它们之间有什么规律吗？今天我们来学习勾股数的探索）（揭示课题）

（同学们写的勾股数组每一组至少都有一个偶数，这个结论对于任何勾股数组都成立吗？答案显然是成立的，因为假设勾股数均为奇数，根据勾股定理，等式左边是两个奇数之和为偶数，等式右边是奇数，这与假设矛盾！那么从奇偶性方面得到启发，我们不妨粉奇数和偶数两方面讨论并寻找更多的勾股数。）

可以从奇数、偶数的角度去研究。下面请看活动1 活动1

设（a、b、c）为一组勾股数，填表： a 3 5 7 9 11 b 4 40 60 1中，a为奇数，b和c为正整数 C 在表 5 13 25 （表1）

时，请给出计算勾股数的一组公式。

（c=b+1, a2=b+c,84,85; 2n?1,2n2?2n,2n2?2n?1）

活动2

设（a,b,c）为一组勾股数，填表： a b c （1）b、c之间的数量关系是________ （2）b、c与a2之间的关系式是________

（3）根据以上规律，写出勾股数（13，___,____）。

（4）一般地，当a=2n+1（n为正整数）

6 8 10 12 14 8 15 48 10 17 26 37 在表2中，a为偶数，b和c为正整数 （1）b、c之间的数量关系是________ （2）b、c与a2之间的关系式是________

（3）根据以上规律，写出勾股数（16，___,____）。

（4）一般地，当a=2n（n为正整数且n>1）时，请给出计算勾股数的一组公式。

65;2n,n2?1,n2?1 （c=b+2）a2?2(b?c),63、师：同学们回答的都不错，刚才我巡视时，看到大家都能正确完成活动1、2的内容。其实勾股定理是借助直角三角形研究三边之间的数量关系的即a2?b2?c2。

（然而，除了上述方法，对于勾股数是否还有其他的构造方法呢？或者说，通过上述方法寻

222找到全部的过股数组吗？答案是否定的，因为可以找到反例20?21?29，它不能由前

述的方法构造出来。）

请看活动3