2021版江苏高考数学一轮复习讲义：第4章 第4节 三角函数的图象与性质 Word版含答案

2π

π [T＝2＝π.]

π??

3．y＝sin?2x－4?的单调减区间是 ．

??

7πππ3π?3π?

?8＋kπ，8＋kπ?(k∈Z) [由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z得

242??3π7π

＋kπ≤x≤88＋kπ，k∈Z.] π??

2x－?4．y＝3sin在区间6???

上的值域是 ．

考点1 三角函数的定义域和值域

1.三角函数定义域的求法

求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．

2．求三角函数最值或值域的常用方法

(1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解．

(2)化一法：把所给三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．

(3)换元法：把sin x，cos x，sin xcos x或sin x±cos x换成t，转化为二次函数求解．

π??

? 1.函数f(x)＝－2tan??2x＋6?的定

义域是( )

ππ

D [由正切函数的定义域，得2x＋6≠kπ＋2，k∈Z， kππ

即x≠2＋6(k∈Z)，故选D.]

3π??

2．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin?2x＋2?－3cos x的最小值为 ．

??3π??

－4 [f(x)＝sin?2x＋2?－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1，

??令cos x＝t，则t∈[－1,1]． ?3?172

f(t)＝－2t－3t＋1＝－2?t＋4?＋8，

??

易知当t＝1时，f(t)min＝－2×12－3×1＋1＝－4. 故f(x)的最小值为－4.]

π?π???

3．已知函数f(x)＝2asin?2x＋6?＋a＋b(a＜0)的定义域为?0，2?，值域为[－

????5,1]，则a＋b＝ .

π?π??1?π?π7π???

－1 [因为x∈?0，2?，所以2x＋6∈?6，6?，所以sin?2x＋6?∈?－2，1?.

????????因为a＜0，所以f(x)∈[3a＋b，b]．因为函数的值域为[－5,1]，所以3a＋b＝－5，b＝1，所以a＝－2，所以a＋b＝－1.]

4．函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为 ．

[设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin x·cos

2

1－t2

x，sin xcos x＝2，且－2≤t≤2.

t211

∴y＝－2＋t＋2＝－2(t－1)2＋1，t∈[－2，2]． 当t＝1时，ymax＝1； 1

当t＝－2时，ymin＝－2－2. ∴函数的值域为

.]

求解三角函数的值域(最值)常见

的几种类型

(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．

(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．

(3)形如y＝asin3x＋bsin2x＋csin x＋d，类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值．

考点2 三角函数的单调性