人教版高中数学必修4,同步练习 - 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）

人教版高中数学同步练习

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)

课时目标 1.能利用两角和与差的正、余弦公式导出两角和与差的正切公式.2.掌握两角和与差的正切公式及变形运用．

1．两角和与差的正切公式

(1)T(α＋β)：tan(α＋β)＝_____________________________________________________. (2)T(α－β)：tan(α－β)＝______________________________________________________. 2．两角和与差的正切公式的变形 (1)T(α＋β)的变形：

tan α＋tan β＝____________________________________________________________. tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝____________. tan α·tan β＝______________________________________________________________. (2)T(α－β)的变形：

tan α－tan β＝______________________________. tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝____________.

tan αtan β＝______________________________________________________________.

一、选择题

π?π3

，π，sin α＝，则tan?α＋?的值等于( ) 1．已知α∈??2??4?5

11

A. B．7 C．－ D．－7 77

4

2．若sin α＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是( )

5

441A. B．－ C．－7 D．－ 337

11π3π

3．已知tan α＝，tan β＝，0<α<，π<β<，则α＋β的值是( )

2322

π3π5π7πA. B. C. D. 4444

4．A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是( )

A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 5．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( ) A．1 B．2 C．tan 10° D.3tan 20°

23

6．在△ABC中，角C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B的值为( )

3

1115A. B. C. D. 4323 1 2 3 4 5 6 题 号 答 案

二、填空题 1＋tan 75°7.＝________. 1－tan 75°

π1＋α?＝2，则8．已知tan?的值为________． ?4?2sin αcos α＋cos2α

sin?α＋β?

9．如果tan α，tan β是方程x2－3x－3＝0两根，则＝________.

cos?α－β?

cos α－sin α

10．已知α、β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)＝________.

cos α＋sin α

三、解答题

11．在△ABC中，tan B＋tan C＋3tan Btan C＝3，且3tan A＋3tan B＋1＝tan Atan B，试判断△ABC的形状．

12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与

225

单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，. 105

求tan(α＋β)的值．

能力提升

11

13．已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．

27

31

14．已知锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝. 55

(1)求证：tan A＝2tan B；

(2)设AB＝3，求AB边上的高．

1．公式T(α±β)的适用范围 π由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋(k∈Z)． 22．公式T(α±β)的逆用 ππ3π一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan ＝1，tan ＝，tan ＝3等． 46331＋tan α1－tan αππ要特别注意tan(＋α)＝，tan(－α)＝. 441－tan α1＋tan α3．公式T(α±β)的变形应用 只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路． 3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)

答案

知识梳理

tan α＋tan βtan α－tan β1．(1) (2)

1－tan αtan β1＋tan αtan β

tan α＋tan β2．(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α＋β) 1－

tan?α＋β?

tan α－tan β

(2)tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan(α－β) －1

tan?α－β?

作业设计

1．A 2.C 3.C

51

4．A [tan A＋tan B＝，tan A·tan B＝，

33

55

∴tan(A＋B)＝，∴tan C＝－tan(A＋B)＝－，

22

∴C为钝角．]

5．A [原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 20°＋3 tan 10°

3

＝3(tan 10°＋tan 20°＋tan 10°tan 20°)

3

＝3tan 30°＝1.]

6．B [tan(A＋B)＝－tan C＝－tan 120°＝3，

233tan A＋tan B1

∴tan(A＋B)＝＝3，即＝3，解得tan A·tan B＝.]

31－tan Atan B1－tan Atan B

7．－3 28. 3

π1＋tan α＋α?＝2，∴解析 ∵tan?＝2， ?4?1－tan α

1＋1222

sinα＋cosαtanα＋19112

解得tan α＝. ∴＝＝. 2＝2＝332sin αcos α＋cosα2sin αcos α＋cosα2tan α＋12

＋13

39．－

2

sin?α＋β?sin αcos β＋cos αsin βtan α＋tan β33

解析 ＝＝＝＝－. 2cos?α－β?cos αcos β＋sin αsin β1＋tan αtan β1＋?－3?

10．1

cos α－sin α1－tan α

解析 tan β＝＝. cos α＋sin α1＋tan α

∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α. ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1. ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β. tan α＋tan β∴＝1，∴tan(α＋β)＝1. 1－tan αtan β

11．解 由tan B＋tan C＋3tan Btan C＝3， 得tan B＋tan C＝3(1－tan Btan C)．

tan B＋tan C

∴tan(B＋C)＝＝3，

1－tan Btan C

π

又∵B＋C∈(0，π)，∴B＋C＝.

3

又3tan A＋3tan B＋1＝tan Atan B，

3∴tan A＋tan B＝－(1－tan Atan B)，

3

tan A＋tan B3

∴tan(A＋B)＝＝－，

31－tan Atan B5π

而A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝，又∵A＋B＋C＝π，

6

2ππ

∴A＝，B＝C＝.∴△ABC为等腰三角形．

36

225

12．解 由条件得cos α＝，cos β＝. 105

72

∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos2 α＝，

10

5

sin β＝1－cos2 β＝.

5

sin αsin β1

因此tan α＝＝7，tan β＝＝. cos αcos β2

17＋2tan α＋tan β

tan(α＋β)＝＝＝－3.

11－tan α·tan β

1－7×

2

tan?α－β?＋tan β1

13．解 tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝>0. 1－tan?α－β?tan β3

π

而α∈(0，π)，故α∈(0，)．

2

1π

∵tan β＝－，0<β<π，∴<β<π.

72

1

∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝>0，

2

π

∴－π<α－β<－. 2

∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．

tan α＋tan?α－β?

∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝1，

1－tan αtan?α－β?

3π

∴2α－β＝－. 4

31

14．(1)证明 ∵sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝，

5532

sin Acos B＋cos Asin B＝sin Acos B＝

55

∴?

11

sin Acos B－cos Asin B＝cos Asin B＝55

?

??

???

?

tan A

＝2，所以tan A＝2tan B. tan B

tan A＋tan Bπ333

(2)解 ∵

将tan A＝2tan B代入上式并整理得，2tan2 B－4tan B－1＝0.

2＋62±6解得tan B＝，舍去负值，得tan B＝. 22

∴tan A＝2tan B＝2＋6.设AB边上的高为CD.

CDCD3CD

则AB＝AD＋DB＝＋＝.

tan Atan B2＋6由AB＝3，得CD＝2＋6.∴AB边上的高等于2＋6.