线性代数作业纸新答案2015

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(C) 若Ax??有无穷多个解，则Ax?0仅有零解 (D) 若Ax??有无穷多个解，则Ax?0有非零解

2．设A为n(n?2)阶方阵，且R(A)=n?1，?1,?2是Ax?0的两个不同的解向量，k为任意常数，则Ax?0的通解为( C )

(A) k?1 (B) k?2 (C) k(?1??2) (D) k(?1??2)

3.已知?1,?2是非齐次线性方程组Ax?b的两个不同解，?1,?2是对应的齐次线性方程组Ax?0的基础解系，k1,k2为任意常数，则非齐次线性方程组Ax?b的通解为（ B ）

22???2???2(C) k1?1?k2(?1??2)?1 (D) k1?1?k2(?1??2)?1

22三、计算与证明

(A)k1?1?k2(?1??2)??1??2 (B) k1?1?k2(?1??2)??1??2

?x1?2x2?x3?x4?0?1.求齐次线性方程组?3x1?6x2?x3?3x4?0的一个基础解系.

?5x?10x?x?5x?0234?1解：对系数矩阵作初等行变换，变成行最简形矩阵，有

?121?1??121?1??120?1???????A??36?1?3?~?00?40?~?0010?

?5101?5??0000??0000???????所以有方程组 ??x1?2x2?x4?0，

x3?0???2??1?????10?x2??1??0?令?????,??，得方程组的一个基础解系为?1???,?2???.

?0??0??x4??0??1?????0???1?第 21 页

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x1?x2?x3?x4?x5?3??2x?x?3x?3x?4x?14?123452. 求线性方程组?的通解.

?3x1?4x2?x3?3x4?2x5??11??x1?x2?4x3?8x4?4x5?31解：对增广矩阵施行初等行变换：

?11?21?B??34??1?111331?34813??1??414??0~2?11??0??431??001000?85?13??04?34?，

15?112??0000??x1?8x4?5x5?13?有?x2??4x4?3x5?4，令x4?x5?0，得方程组的一个解 ?x??5x?x?1245?3??13???4??*???12?

??0???0????8???5??????4???3?对应齐次线性方程组的基础解系为?1???5?,?2??1?.

????1???0??0??1?????于是所求的通解为

x?c1?1?c2?2??*(c1,c2?R)

第四章 相似矩阵和二次型

（一）

一、填空

1. 设A?(?1,?2,?,?n)为n阶正交阵，则内积[?i,?j]???1,i?j?i,j?1,2,?,n?.

?0,i?jTT2. 设??(1,2,a,4)，??(?4,b,?2,1)，若?,?正交，则a,b应满足的关系为a?b.

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3．设单位向量?与?1?(1,1,1)T，?2?(?1,2,0)T都正交，则??(213,,?)T. 1414144. 已知T是一个n阶正交阵，n维列向量||?||?1，则||T?||? 1 .

二、计算与证明

1. 试用施密特正交化方法把下列向量组正交化：

?111???(1)??1,?2,?3??124.

???139???解 根据施密特正交化方法：

?1???取 ?1??1?1，

???1?????1???,????2??2?12?1??0，

???,??11??1????1???,????,??1??3??3?13?1?23?2???2 ，

??3????1,?1???2,?2??1?1??1?1?3???2?0??. 故正交化后得：??1,?2,?3??1?3???1???11?3???11?1???0?11?. (2)??1,?2,?3?????101???110??

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解 根据施密特正交化方法：

?1???0?取 ?1??1??，

??1????1??1????1,?2??1??3?， ?2??2??1???2?,?3?11????1???1????1,?3??2,?3???1?3?， ?3??3??1??2???3?,??,?5?11??22????4?11??1??35???3?0?1???5故正交化后得：??1,?2,?3????

23??1??35??14??1?35???1???2. 已知?1??1?，求一组非零向量?2,?3，使?1,?2,?3两两正交.

?1???解 ?2,?3应满足方程，?1Tx?0，即 x1?x2?x3?0， 它的基础解系为

?1??0????? ?1??0?,?2??1?，

??1???1?????把基础解系正交化，即合所求. 亦即取

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