行列式习题

11．设?,?,?为互不相等的实数，证明 ?11?3???0的充要条件是??????0。 ?3?36160369220可被1664122．已知1632，2160，3696，5024都可被16整除。不经计算，证明

35整除。

?ax1?bx2n?1?ax?bx2n?1?1?2????axn?bxn?1?1223．已知a?b，证明方程组? 有唯一解，并求其解。

?bxn?axn?1?1????bx2?ax2n?1?1?bx?ax?12n?1

[答案与提示] [自测题Ⅰ]

一．填空题。

1．0； 2。1； 3。2； 4。25； 5。1，2，3 二．选择题。

1．A； 2。B； 3。C； 4。C； 5。D。 三．计算题。

1．a21A41?a22A42?a23A43?a24A44?A41?A42?A43?A44?0。 2．将左边行列式按最后一行展开得：

xzxy1x?z100?x10= z ?y?1010x1010y01 =?z?y?x?1 则 x?y?z?0 所以 x?y?z?0。

222222xyz1xy3．行列式的第i?1列乘以?n1(i?1)加到第1列上去，得 ai10??100??(a0??i?1na0??i?1原式=

00?01ai1a10?0a2??01)a1a2?an。 ai?an4．??2且???5。 四．综合题。

1．由行列式性质易证。

2．设x?ai(i?1,2,?,n?1)时，f(x)?0。则有

?c0?c1a1???cna1n?0,?n?c0?c1a2???cna2?0, ?

???n?c?ca???ca01n?1nn?1?0.? 把上述方程看成以c0,c1,?,cn为未知数的齐次线性方程组，其系数行列式恰为范德蒙德行列式，因ai(i?1,2,?,n?1)各不相同，故D?0，方程组仅有零解c0?c1???cn?0，即f(x)?0。

1a11a23．原式=

??1an

0?011?1b0?01?0???0?00b2?bn?(a?a1)(b2?b1),n?20?0??2。

n?20,???0?0[自测题Ⅱ]

一．填空题。

31．?2x； 2。-3； 3。6； 4。-28； 5。??1。

二．选择题。

1．D； 2。C； 3。C； 4。B； 5。A。 三．计算题。

1．（1）当f?0时，显然Ai1?0(i?1,2,3,4)，所以A11?A21?A31?A41?0。

（2）当f?0时，第4列元素与第1列对应元素的代数余子式乘积之和等于零，有

fA11?fA21?fA31?fA41?0，即f(A11?A21?A31?A41)?0，

所以A11?A21?A31?A41?0。

2．将此行列式的第1行加到第2行，再将第2行加到第3行，然后将第3行加到第4行得

1b1001b200100000?1 b313．按任一行（列）展开，值为2001！。 4．???1或5。 四．综合题。 1．展开行列式

111??3???(???)(???)(???)(?????)， ?3?3因?,?,?互不相等，故???,???,???不为零，从而行列式为零的充要条件是

??????0。

2．参见第三部分典型例题中的例4。

3．由第三部分典型例题中的例10，方程组的系数行列式的值(a?b)?0，所以方程

22n1?x??1a?b?ax1?bx2n?1组有唯一解。由第1个方程和第2n个方程有?解得?，同理由第

1?bx1?ax2n?1?x2n?a?b?2个方程和第2n?1个方程，由第3个方程和第2n?2个方程，如此类推到由第n个方程和

11,?,xn?xn?1?第n?1个方程可解得x2?x2n?1?。 a?ba?b1(i?1,2,?,n,n?1,?,2n) 所以该方程组有唯一解xi?a?b