2-2教案 - 学案- 副本

第一章 导数及其应用

§1.1.1变化率问题

教学目标：

1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；

3．会求函数在某点处附近的平均变化率

教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关,导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢？

气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)?如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)?343?r 33V 4?在吹气球问题中，当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率为__________ 当空气容量V从1L增加到2L时，气球的平均膨胀率为__________________ 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率为_____________ 问题2 高台跳水

在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v粗略地描述其运动状态?

在0?t?0.5这段时间里，v=_________________ 在1?t?2这段时间里，v=_________________

h ot 问题3 平均变化率

1．上述问题中的变化率可用式子

f(x2)?f(x1)表示,

x2?x1

称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率

2．若设?x?x2?x1, ?f?f(x2)?f(x1) (这里?x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+?x代替x2,同样

?f??y?f(x2)?f(x1))

3． 平均变化率为

f(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1)?y?f? ??x2?x1?x?x?xf(x2)?f(x1)?f表示什么? ?x2?x1?x思考：观察函数f(x)的图象 ： 平均变化率

三．典例分析

例1．已知函数f(x)=?x?x的图象上的一点A(?1,?2)及临近一点B(?1??x,?2??y),则

2?y? ． ?x

例2． 求y?x在x?x0附近的平均变化率。

四．课堂练习

21．质点运动规律为s?t2?3，则在时间(3,3??t)中相应的平均速度为 ． 2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率. 25?3?t3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.

五．回顾总结

1．平均变化率的概念

2．函数在某点处附近的平均变化率

六．布置作业

备选练习：

1、函数f?x??x在区间??1,3?上的平均变化率是（ ）

2A、4 B、2 C、

231 D、 4422、经过函数y??2x图象上两点A、B的直线的斜率（xA?1.5,xB?1）为_______;函数y?2x在区间[1，1.5]上的平均变化率为_________________

3、如果质点M按规律s?3?t运动，则在时间[2，2.1]中相应的平均速度等于______

2

导数与导函数的概念

教学目标：

1、知识与技能：理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法； 理解导数的几何意义； 理解导函数的概念和意义；

2、过程与方法：先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转化问题的

能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力

3、情感态度及价值观；让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。 教学重点：

1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用 教学难点：

1、导数概念的理解；2、导函数的理解、认识和运用 教学过程： 一、情境引入

在前面我们解决的问题： 1、求函数f(x)?x在点（2，4）处的切线斜率。

2?yf(2??x)?f(x)??4??x，故斜率为4 ?x?x22、直线运动的汽车速度V与时间t的关系是V?t?1，求t?to时的瞬时速度。

?Vv(to??t)?v(to)??2to??t，故斜率为 2to ?t?t二、知识点讲解

上述两个函数f(x)和V(t)中，当?x(?t)无限趋近于0时，

?V?V()都无限趋近于一个常数。 ?t?x归纳：一般的，定义在区间（a，b）上的函数f(x)，xo?(a，b)，当?x无限趋近于0时，

?yf(xo??x)?f(xo)无限趋近于一个固定的常数A，则称f(x)在x?xo处可导，并称A为f(x)在??x?xx?xo处的导数，记作f'(xo)或f'(x)|x?xo，

上述两个问题中：（1）f'(2)?4，（2）V'(to)?2to 三、几何意义：

f(x)在x?x0处的导数就是f(x)在x?x0处的切线斜率。

四、例题选讲

例1、求下列函数在相应位置的导数

（1）f(x)?x?1，x?2 （2）f(x)?2x?1，x?2 （3）f(x)?3，x?2

2

例2、函数f(x)满足f'(1)?2，则当x无限趋近于0时，

f(1?x)?f(1)?

2xf(1?2x)?f(1)（2）?

x（1）

变式:设f(x)在x=x0处可导，

（3）

f(x0?4?x)?f(x0)无限趋近于1，则f?(x0)=___________

?xf(x0?4?x)?f(x0)无限趋近于1，则f?(x0)=________________

?xf(x0?2?x)?f(x0?2?x)所对应的常数与f?(x0)的关系。

?x（4）

（5）当△x无限趋近于0，

总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。

例3、若f(x)?(x?1)，求f'(2)和(f(2))'

注意分析两者之间的区别。

例4：已知函数f(x)?

五、小结与作业

2x，求f(x)在x?2处的切线。