对傅里叶分析的新颖理解

这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。

傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。

一、嘛叫频域 关键词：从侧面看

从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。

先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：在你的理解中，一段音乐是什么呢？

这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：

上图是音乐在时域的样子，而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。

现在我们可以回过头来重新看看一开始那句痴人说梦般的话：世界是永恒的。 将以上两图简化： 时域： 频域：

在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。

你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。

傅里叶同学告诉我们，任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正/余弦波的叠加。在第一个例子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。

而贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)，我们从简单的开始谈起。

二、傅里叶级数(Fourier Series)

如果说能用余弦曲线波叠加出一个带90度角的矩形波来，你会相信吗？但是看看下图：

第一幅图是一个郁闷的余弦波cos（x）

第二幅图是2个卖萌的余弦波的叠加cos(x)+a cos(3x) 第三幅图是4个发春的余弦波的叠加 第四幅图是10个便秘的余弦波的叠加

随着余弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了什么道理？

随着叠加的递增，所有余弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个余弦波叠加起来才能形成一个标准90度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个。

不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正/余弦波叠加起来的。

这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，但是一旦接受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。

还是上图的余弦波累加成矩形波，我们换一个角度来看看：

在这几幅图中，最前面黑色的线就是所有余弦波叠加而成的总和，也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些余弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了，每两个余弦波之间都还有一条直线，那并不是分割线，而是振幅为0的余弦波！也就是说，为了组成特殊的曲线，有些正/余弦波成分是不需要的。

这里，不同频率的正/余弦波我们称为频率分量。好了，关键的地方来了！！

如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“1”，我们就有了构建频域的最基本单元。 对于我们最常见的有理数轴，数字“1”就是有理数轴的基本单元。（数学称法为——基）

时域的基本单元就是“1秒”，如果我们将一个角频率为的正弦波sin（t）看作基础，那么频域的基本单元就是。

有了“1”，还要有“0”才能构成世界，那么频域的“0”是什么呢？sin（0t）就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！所以在频域，0频率也被称为直流分量，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。

接下来，让我们回忆一下正弦波的吧。

正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆

想看动态图：

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Fourier_series_square_wave_circles_animation.gi 以及这里：

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Fourier_series_sawtooth_wave_circles_animation.gif

介绍完了频域的基本组成单元，我们就可以看一看一个矩形波，在频域里的另一个模样了：