相似三角形A字模型（含详细答案解析）~经典

教师辅导教案

授课日期： 年 月 日 授课课时： 课时 学员姓名 学科教师 教学课题 教学目标 教学重难点 年 级 班 主 任 辅导科目 数学 授课时间 作业完成情况： 优□ 良□ 中□ 差□ 课前检查 建 议: 教学内容 一、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等 ?B??B?，?C??C?． △ABC与△A?B?C?相似，则有?A??A?， 2．相似三角形的对应边成比例 △ABC与△A?B?C?相似，则有ABBCAC． ???k（k为相似比）??????ABBCAC 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． △ABC与△A?B?C?相似，AM是△ABC中BC边上的中线，A?M?是△A?B?C?中B?C?边上的中线，则有ABBCACAM（k为相似比）． ???k?A?B?B?C?A?C?A?M? △ABC与△A?B?C?相似，AH是△ABC中BC边上的高线，A?H?是△A?B?C?中B?C?边上的高线，则有ABBCACAH（k为相似比）． ???k?????????ABBCACAH △ABC与△A?B?C?相似，AD是△ABC中?BAC的角平分线，A?D?是△A?B?C?中?B?A?C?的角平分线，ABBCACAD则有（k为相似比）． ???k?????????ABBCACAD4．相似三角形周长的比等于相似比．

△ABC与△A?B?C?相似，则有ABBCAC．应用比例的等比性质有???k（k为相似比）A?B?B?C?A?C?ABBCACAB?BC?AC????k． A?B?B?C?A?C?A?B??B?C??A?C?5．相似三角形面积的比等于相似比的平方． △ABC与△A?B?C?相似，AH是△ABC中BC边上的高线，A?H?是△A?B?C?中B?C?边上的高线，则有1?BC?AHS△ABCBCAHABBCACAH2????k2． （k为相似比）．进而可得???k?S△A?B?C?1?B?C??A?H?B?C?A?H?A?B?B?C?A?C?A?H?2 二、相似三角形的判定 1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似． 3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似． 5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明） 7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似． 三、相似证明中的基本模型 A字形 图①A字型，DE//BC ;结论：ADAEDE??， ABACBC【例1】李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（ ） 已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，DF∥AC， 求证：△ADE∽△DBF． 证明：①又∵DF∥AC， ②∵DE∥BC， ③∴∠A=∠BDF， ④∴∠ADE=∠B， ∴△ADE∽△DBF． A．③②④① B．②④①③ C．③①④② D．②③④① 【解答】证明：②∵DE∥BC，

④∴∠ADE=∠B， ①又∵DF∥AC， ③∴∠A=∠BDF， ∴△ADE∽△DBF．故选：B． 【练1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t秒，当t= 4.8或△CPQ与△ABC相似． 【解答】解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA， 所以，即解得t=4.8； CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB， 所以，即解得t=． 时，△CPQ与△CBA相似． ， ， ， ， 秒时，综上所述，当t=4.8或故答案为4.8或． 图②反A字型，∠ADE=∠ B或∠1=∠B结论： AEADDE?? ACABBC【例2】如同，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（ ） A．= B．= C．∠ADE=∠C D．∠AED=∠B 【解答】解：∵∠DAE=∠CAB， ∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED； 当=即=时，△ABC∽△AED． 故选：A．

【例3】如图，P是△ABC的边AB上的一点．（不与A、B重合）当∠ACP=∠ B 时，△APC与△ABC是否相似；当AC、AP、AB满足 【解答】解：∵∠A=∠A，∠ACP=∠B， ∴△ACP∽△ABC； ∵，∠A=∠A， 时，△ACP与△ABC相似． ∴△ACP与△ABC； 故答案为：B；． 【练习1】如图，D、E为△ABC的边AC、AB上的点，当 ∠ADE=∠B 时，△ADE∽△ABC．其中D、E分别对应B、C．（填一个条件）． 【解答】解：当∠ADE=∠B， ∵∠EAD=∠CAB， ∴△ADE∽△ABC． 故答案为∠ADE=∠B． 【练习2】如图，在△ABC中，D、E分别在AB与AC上，且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4． 求证：△ADE∽△ACB． 【解答】证明：∵AD=5，DB=7，AE=6，EC=4， ∴AB=5+7=12，AC=6+4=10， ∴∴===， ==， 又∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB． 【练习3】如图，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的角平分线，求证：△ABC∽△BCD． 【解答】证明：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°， ∵BD是角平分线，