数学竞赛 几何变换（第十二届夏令营）

练3.3 设D,T是?ABC的边BC上的两点, 且AT平分?BAC, P是过D且平行于AT的直线上的一点, 直线BP交CA于E, 直线CP交AB于F. 求证:

BT?DC的充分必要条件是BF?CE. (必要性: 第19届墨西哥数学奥林匹克,

2005)

练3.4 设?ABC是一个正三角形. P是其内部满足条件?BPC=120?的一个动点. 延长CP交AB于M, 延长BP交AC于N. 求?AMN的外心的轨迹.(第17届拉丁美洲数学奥林匹克, 2002)

3.2 相似变换

练3.5 在?ABC中, AB?AC, 中线AM交?ABC的内切圆于E,F两点, 分别过E,F两点作BC的平行线交?ABC的内切圆于另一点K,L, 直线AK,AL分别交BC于P,Q. 求证: BP?QC. (第46届IMO预选题, 2005; 第47届伊朗国家队选拔考试, 2006)

练3.6 设Ib,Ic分别是?ABC的B?旁心,C?旁心, P是?ABC的外接圆上一点. 证明: ?ABC的外心是?IbAP和?IcAP的外心的连线段的中点. (第30届俄罗斯数学奥林匹克, 2004)

3.3 反演变换

练3.7 设I,Ia分别是分别为?ABC的内心和A?旁心, IIa与BC交于D, 与

?ABC的外接圆交于M. 设N是?AM的中点, ?ABC的外接圆分别与NI,NIa交

于另一点S,T. 求证: S,D,T三点共线. (第18届伊朗数学奥林匹克, 2001)

4 习题解答

4.1 合同变换

练3.1设四边形ABCD外切于圆, ?A,?B的外角平分线交于点K, ?B,?C的外角平分线交于点L, ?C,?D的外角平分线交于点M, ?D,?A的外角平分线交于点N. 再设?ABK,?BCL,?CDM,?DAN的垂心分别为K1,L1,M1,N1. 求证: 四边形K1L1M1N1是平行四边形. (第30届俄罗斯数学奥林匹克, 2004)

17 / 22

证明: 如图所示, 设四边形ABCD的内切圆圆心为O. 由于内角平分线和外角平分线互相垂直, 所以OA?NK,OB?KL. 又AK1是?ABK的高, 所以AK1?BK, 因此

AK1//OB. 同理, BK1//OA, 从而四边形AK1BO是平行四边形. 同样地, 四边形BLCO,CM1DO,DN1AO皆为平行四边形. 于是 1K1N1?BD?L1M1

T(AC)????????????????????但T(OC)T(AO)?T(OC?OA)?T(AC), 因而K1N1?L1M1. 故四边形

????????T(AO)????T(OC)K1L1M1N1是平行四边形.

练3.2 设C,D是以O为圆心、AB为直径的半圆上任意两点, 过B作圆O的切线交直线CD于P, 直线PO与直线CA,AD分别交于E,F. 证明:

OE?OF. (第4届中国东南地区

数学奥林匹克, 2007)

证明: 如图所示. 以过圆心O且垂直于EF的直线为轴作轴反射变换, 设

A?A', 则A'仍在圆O上, 且?FOA'??AOE??BOP, 所以PA'也是圆O的切

线, 因此A',O,B,P四点共圆. 于是?A'DA??A'BA??A'BO??A'PO, 从而

A',D,P,F四点也共圆, 所以?A'FO??A'DC??A'BC.

另一方面, 因AB是圆O的直径, 所以BC?EC. 又显然有A'B?EF, 由此可知?A'BC??OEA, 因此?A'FO??OEA. 再注意?FOA'??EOA, OA'?OA, 即知?A'OF??AOE, 故OE?OF.

练3.3 设D,T是?ABC的边BC上的两点, 且AT平分?BAC, P是过D且平行于AT的直线上的一点, 直线BP交CA于E, 直线CP交AB于F. 求证:

BT?DC的充分必要条件是BF?CE. (必要性: 第19届墨西哥数学奥林匹克,

2005)

18 / 22

证明: 如图所示, 设M为BC的中点, 作中心对称变换C(M), 则C?B. 设A?A', 则四边形ABA'C是平行四边形. 再设直线A'B与CF交于Q, 则有

A'CBFCPCE, . 于是, ??A'QBQPQBQBT?DC?T?D?A'D为?CAB'的平分线?AD'//AT.

而PD//AT, 故

BT=DC?A',D,P三点共线?A'P为?CA'B的平分线?A'CCP =A'QPQ又

A'CBFCPCEBFCE, , 所以BT=DC???=?BF=CE.

A'QBQPQBQBQBQ练3.4 设?ABC是一个正三角形. P是其内部满足条件?BPC=120?的一个动点. 延长CP交AB于M, 延长BP交AC于N. 求?AMN的外心的轨迹.(第17届拉丁美洲数学奥林匹克, 2002)

证明: 如图所示, 设?AMN的外心为O,

?ABC的中心为Q, 分别过点B,C作BC的垂线

交AQ的垂直平分线于E,F, 易知, 当P?B时, O?E; 当P?C时, O?F.

下面证明: 当P在?ABC内变动时, 点O的轨迹是线段EF(不包括端点). 事实上, 设点P满足条件, 作旋转变换R(Q,120?), 则A?B,B?C,C?A. 因?BPC=120?, 所以N?M. 注意?BAC=60?, 因此P,Q都在?AMN的外接圆上, 所以?AMN的外心O在AQ的垂直平分线EF上.

反之, 设?AMN的外心O在线段EF上, 以O为圆心、OA为半径作圆分别交

AB,AC于M,N. 由于AQ平分?BAC, 所以QN=QM. 从而在旋转变换

19 / 22

R(Q,120?)下, N?M. 但B?C, 所以BN?CM. 设BN,CM的交点为P, 显然点P在?ABC内, 且?BPC=120?. 即点P满足条件.

综上所述, 点P的轨迹为线段EF(不包括端点). 4.2 相似变换

练3.5 在?ABC中, AB?AC, 中线AM交?ABC的内切圆于E,F两点, 分别过E,F两点作BC的平行线交?ABC的内切圆于另一点K,L, 直线AK,AL分别交BC于P,Q. 求证: BP?QC. (第46届IMO预选题, 2005; 第47届伊朗国家队选拔考试, 2006)

证法一: 如右图所示, 设AM?k1?AE,

AM?k2?AF, 则

KE?PM,FL?MQ

H(A,k1)H(A,k2)设T为?ABC的内切圆, T?T1,T?T2, 则圆T1,T2均过点M, 且均与射线AB,AC相切.

设圆T1与射线AB,AC分别切于S1,T1, 圆T2与射线AB,AC分别切于S2,T2, T1,T2交于M,N两点, 直线MN与AB,AC分别交于U,V, 则S1S2?TT12.

由圆幂定理可知, U,V分别为S1S2,TT12的中点, 所以US1?VT2. 又显然

AU?AV, 而M为BC的中点, 由此不难得到BU?CV, 因此BS1?CT2. 于是

H(A,k1)H(A,k2)由圆幂定理得

BP?BM?BS12?CT22?CQ?CM

再注意BM?CM即得BP?QC.

证法二: 如下图所示, 由FL//MQ, 有

AMAQ?, 设这个比值为k, 作位似AFAL变换H(A,k), 则F?M,L?Q. ?ABC的内切圆T变为过M,Q两点的圆T', 且圆T'与AB,AC均相切. 设切点分别为S,T, 则由圆幂定理, BS2?BM?BQ,

20 / 22