数学竞赛 几何变换（第十二届夏令营）

的垂直平分线. 同理, 直线BP,CP的像直线分别是HT,HU的垂直平分线. 而AP,BP,CP有公共点P, 因此

HS,HT,HU的垂直平分线交于一点.

故S,T,U,H四点共圆.

进一步, 我们还可以证明?(STU)与?ABC的外接圆是等圆.

事实上, 因PS,PT,PU的中点分别是?ABC的三边的中点, 所以?(STU)的半径是?ABC的中点三角形的外接圆的半径的两倍, 而?ABC的外接圆的半径也是其中点三角形的外接圆半径的两倍. 故?(STU)与?ABC的外接圆是等圆.

在本题中, 我们首先将四点共圆的问题转化成三线共点问题, 然后巧妙地通过中心对称变换使问题得到顺利的解决.

例2.4 设ABCD是一个正方形, 以AB为直径作一个圆T, P是边CD上的任意一点, PA,PB分别与圆交于E,F两点. 求证: 直线DE与CF的交点Q在圆T上, 且

AQDP?. QBPC(第44届塞尔维亚和黑山国家数学竞赛, 2006)

证明: 如图所示. 设BE,AD交于R, AF,BC交于S, 则F,S,C,P四点共圆, 所以?SPC??SFC. 令O为正方形ABCD的中心, 作旋转变换R(O,90?), 则

B?C,C?D,D?A, 而AS?BP,BR?AP, 所以S?P,P?R, 从而?PRD??SPC. 显然, BC为圆T的切线, 所以?CBP??BAF. 因AD//BC, 所

以?RPB=?PRD+?CBP=?SPC+?CBP. 再设CQ与AB交于T, 因AB//DC, 则

?ATQ=?DCQ, 于是

?RPB=?SPC+?CBP=?SFC+?BAF=?AFQ+?BAF=?ATQ=?DCQ

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又由R,E,P,D四点共圆, 知?BRP=?QDC, 因此?PRB??CDQ, 从而

?PBR=?CQD, 即?FBE=?FQE, 这说明E,Q,B,F四点共圆, 换句话说, 点Q在

圆T上. 再由R,E,P,D四点共圆, 知?PRD=?PED=?AEQ=?ABQ, 而

?RDP=90?=?BQA, 所以?PDR??AQB, 于是

AQDP. ?QBPCAQPD, 又DR=CP, 故=QBDR2.2 相似变换

例2.5 设?O1,?O2是半径不等的外离两圆. AB,CD是两圆的两条外公切线,

EF是两圆的一条内公切线, 切点A,C,E在

?O1上, 切点B,D,F在?O2上. 再设EO1与

AC交于K, FO2与BD交于L. 求证: KL平分EF. (罗马尼亚国家队选拔赛, 2007)

证明: 如图所示, 设两条外公切线交于O, 内公切线EF与外公切线AB,CD分别交于P,Q, 以O为位似中心作位似变换, 使O1?O2, 则AC?BD, 而

O1E//O2F, 所以直线O1E?直线O2F, 于是AC与直线O1E的交点?BD与直线

O2F的交点, 即K?L, 因此O,K,L三点共线. 过L作EF的平行线分别与直线

AB,CD交于R,S, 则O2L?RS, 而O2B?BR,O2D?SD, 所以R,B,L,O2四点共

圆, O2,L,S,D四点共圆, 再注意到O2B?O2D, 于是

?SRO2??LBO2??O2DL??O2SR

所以O2R?O2S, 因此L平分RS. 而PQ//RS, 所以OL平分PQ, 即KL平分PQ. 又PF?QE, 故KL平分EF.

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例2.6 在?ABC的外部作?PAB与?QAC, 使得AP?AB,AQ?AC, 且

?PAB??CAQ. 设BQ,CP交于R, ?BCR的外心为O. 求证: AO?PQ. (中国

国家队培训, 2006)

证法一: 如右图所示, 易知

?APC??ABQ, 所以?APR??ABR. 因此A,P,B,R四点共圆, 从而?PRB??PAB. 于

是?COB?2?PRB?2?PAB. 设BC?k?BO, 作位似旋转变换S(B,k,?OBC), 则O?C. 设A?A', 则?A'AB??COB?2?PAB, 所以

?A'AP??PAB??CAQ. 又由OC?OB, 有AA'?AB. 于是, 再作旋转变换R(A,?PAB), 则C?Q,A'?P, 从而AOR(A,?PAB)S(B,k,?OBC)?PQ.

另一方面, 由OB?OC,?BOC?2?PAB知?PAB??OBC?90?, 因此存在点O1, 使得R(A,?PAB)S(B,k,?OBC)?S(O1,k,90?). 这说明在位似旋转变换

S(O1,k,90?)下, 有AO?PQ. 故AO?PQ.

证法二: 若下图所示. 同证法一, 有?BOC?2?PRB?2?PAB. 设M为BC的中点, 则OM?BC. 再分别过B,C作

AP,AQ的垂线, 垂足分别为E,F, 则

?CFA??CMO??BMO??BEA

于是, 设CO?k?CM, ?FCA??, 则

M?O?1S(C,k,?)S(B,k?1,?)?M

S(C,k,?)S(B,k?1,?)所以, S(B,k,?)S(C,k,?)?S(M,1,2?)?R(M,2?). 而F?A?E, 因此

在旋转变换R(M,2?)下, F?E, 所以ME?MF且?FME?2?. 因OA与等腰

?MEF的两腰ME,MF的交角都等于?, 所以OA?EF. 另一方面, 由

?CFA?BEA, 有

AEAEAFAF???, 所以EF//PQ, 故OA?PQ. APABACAQ 15 / 22

2.3 反演变换

例2.7 设圆T与直线l相离, AB是圆T的垂直于l的直径, 点B离l较近,

C是圆T上不同于A,B的任意一点, 直线AC交l于D, 过D作圆T的切线DE, E是切点, 直线

BE与l交于F, AF与圆T交于另一点G. 求证:

点G关于AB的对称点在直线CF上. (德国国家队选拔考试, 2005)

证明: 如图所示, 设AB与直线l交于M, 则

A,E,M,F四点共圆, 再由DE与圆T相切可知?EDF??EOA, 所以DF?DE,

且?EOD??EAF, 从而?DOE??FAE. 但?GOE?2?FAE, 所以

?GOD??DOE, 从而?GOD??EOD, 所以DG也为圆T的切线, G为切点,

DG?DE?DF. 设点G,F关于直线AB的对称点分别为G',F', 则G'在圆T上,

且?F'??DFG??FGD, 所以A,G,D,F'四点共圆. 于是, 作反演变换

I(A,AG?AF), 则F,G互为反点, F',G'互为反点, 这说明圆T与直线l互为反

形, 所以C,D互为反点. 又A,G,D,F'四点共圆, 这个圆与直线FC互为反形, 所以F,C,G'共线, 即点G关于AB的对称点在直线CF上.

3 训练习题

3.1 合同变换

练3.1 设四边形ABCD外切于圆, ?A,?B的外角平分线交于点K, ?B,?C的外角平分线交于点L, ?C,?D的外角平分线交于点M, ?D,?A的外角平分线交于点N. 再设?ABK,?BCL,?CDM,?DAN的垂心分别为K1,L1,M1,N1. 求证: 四边形K1L1M1N1是平行四边形. (第30届俄罗斯数学奥林匹克, 2004)

练3.2 设C,D是以O为圆心、AB为直径的半圆上任意两点, 过B作圆O的切线交直线CD于P, 直线PO与直线CA,AD分别交于E,F. 证明: OE?OF. (第4届中国东南地区数学奥林匹克, 2007)

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