数学竞赛 几何变换（第十二届夏令营）

几何变换 (第十二届夏令营)

湖南师大附中 数学竞赛组

自公元前3世纪古希腊数学家欧几里得(Euclid)的《几何原本》问世以来, 平面几何就作为数学的一个分支而存在于世. 由于平面几何有其鲜明的的直觉与严谨、精确、简明的语言, 并且经常出现一些极具挑战性的问题, 因而这一古老的数学分支一直保持着青春的活力, 以极具魅力的姿态展现在我们面前. 世界各国无不将平面几何作为培养本国公民的逻辑思维能力、空间想象能力和推理论证能力的重要题材. 由匈牙利于1894年首开先河的国内外各级数学竞赛活动更是将平面几何作为常规的竞赛内容, 并且从1959年开始举办的每年一届(1980年因特殊原因中断)的国际中学生数学竞赛(通称国际数学奥林匹克)中, 在同一届出现两道平面几何题的情况已是屡见不鲜.

但是, 传统的平面几何都是采用公理化方法处理的, 这种方法将平面图形视为静止的图形, 其优点是便于掌握几何图形本身的内在规律. 但用这种静止的观点研究平面几何的一个最大缺陷是: 难以发现不同几何事实之间的联系. 欲深刻揭示客观事物之间的联系, 掌握运动的事物的空间形式最本质的东西——在运动中始终保持不变的性质, 仅用静止的观点是远远不够的, 必须动静结合, 用运动、变化的观点来研究客观事物的运动形式和变化规律. 就平面几何而言, 按照德国数学家克莱因(F. Klein)于1872年提出的观点, 平面几何是研究平面图形在运动、变化过程中的不变性质和不变量的科学.

几何变换作为一种现代数学思想方法, 正是采用运动、变化的观点来研究平面几何的. 面对一个平面几何问题, 几何变换往往能有效地帮助我们顺利地实现由条件到结论的逻辑沟通. 将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换. 平面几何中的几何变换主要有合同变换、相似变换和反演变换等.

1 知识方法

1.1 合同变换

在一个几何变换f下, 如果任意两个之间的距离等于变化后的两点之间的距离, 则称f是一个合同变换.

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合同变换只改变图形的相对位置, 不改变其性质和大小. 合同变换有三种基本形式: 平移变换, 轴反射变换, 旋转变换.

(一) 平移变换

将平面图形上的每一个点都按一个定方向移动定距离的变换叫作平移变换.

??记为T(a), 定方向a称为平移方向, 定距离称为平移距离.

显然, 在平移变换下, 两对应线段平行(或共线)且相等. 因此, 凡已知条件中含有平行线段, 特别是含有相等线段的平面几何问题, 往往可用平移变换简单处理. 平移可移线段, 也可移角或整个图形.

例1.1 平面上一个单位正方形与距离为1的两条平行线均相交, 使得正方形被两条平行线截出两个三角形(在两条平行线之外). 证明: 这两个三角形的周长之和与正方形在平面上的位置无关. (第15届亚洲—太平洋数学奥林匹克, 2003)

证明: 如图所示, 设直线l1//l2, l1与l2的距离为1, 单位正方形ABCD的边AB,AD分别与l1交于P,Q, 边

????BC,CD分别与l2交于R,S. 作平移变换T(PA), 设

l1?l1',l2?l2',R?R', 则R'在l2'上, l1'过正方形的顶点A. 因点A到l2'的距离等于AB, 所以l2'决不会与边AB,AD相交. 设l2'与边BC,CD分别交于E,F, 则有R'F?RS,SF?PA,ER?AQ, 进而, ER'?PQ, 于是

AP?PQ?AQ?RC?CS?RS?SF?ER'?ER?RC?CS?R'F?EC?CF?EF

过顶点A作l2'的垂线, 设垂足为H, 则AH?AB?AD?1. 由于

AB?EC,AD?CF,AH?EF, 所以, 点A是?CEF的C?旁心, 且B,H,D分别

为?CEF的C?旁心圆与三边的切点, 所以EH?BE,HF?FD, 从而

EC?CF?EF?BC?CD?2, 即AP?PQ?AQ?RC?CS?RS?2. 这就是说, ?APQ的周长与?CSR的周长之和等于2. 它与正方形在平面上的位置无关.

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(二) 轴反射变换

如果直线l垂直平分连接两点A,A'的线段AA', 则称两点A,A'关于直线l对称. 其中A'(A)叫作点A(A')关于直线l的对称点.

把平面上图形中任一点都变到它关于定直线l的对称点的变换, 叫作关于直线l的轴反射变换, 记为S(l), 直线l叫作反射轴.

显然, 在轴反射变换下, 对应线段相等, 两对应直线或者相交于反射轴上, 或者与反射轴平行. 通过轴反射变换构成(或部分构成)轴对称图形是处理平面几何问题的重要思想方法.

例1.2 在锐角?ABC中, AB?AC, AD是边BC上的高, P是线段AD上一点. 过P作PE?AC, 垂足为E, 作PF?AB, 垂足为F. O1,O2分别是?BDF,?CDE的外心. 求证:

O1,O2,E,F四点共圆的充要条件为P是?ABC的垂心. (全国高中数学联赛, 2007)

证明: 如图所示, 由PD?BC,PF?AB知B,D,P,F四点共圆, 且BP为其直径, 所以?BDF的外心O1为BP的中点. 同理, C,D,P,E四点共圆, 且O2是CP的中点. 因此, O1O2//BC, 所以?O2O1P??CBP.

充分性. 设P是?ABC的垂心, 由于PE?AC,PF?AB, 所以B,O1,P,E四点共线, C,O2,P,F四点共线, B,C,E,F四点共圆. 于是由?O2O1P??CBP得

?O2O1E??CBE??CFE??O2FE, 故O1,O2,E,F四点共圆.

必要性. 因为O1是Rt?BFP的斜边PB的中点, O2是Rt?CEP的斜边PC的中点, 所以?PO1F?2?PBA, ?O2EC??ACP. 因为A,F,E,P四点共圆, 所以

?FEP??FAP. 于是

?O2O1F??O2O1P??PO1F??CBP?2?PBA??CBA??PBF

?FEO2??FEP??PEO2??FAP?90???O2EC??FAP?90???ACP

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这样, 若O1,O2,E,F四点共圆, 则?O2O1F??FEO2?180?. 因而有

?CBA??PBF??FAP?90???ACP?180?

再注意?CBA??FAP?90?, 即得?PBF??ACP, 也就是?PBA??ACP.

作反射变换S(AD), 设B?B', 因AB?AC, AD?BC, 所以BD?CD, 于是B'在线段CD上, 且?PB'B??CBP,?AB'P??PBA. 因?PBA??ACP, 所以?AB'P??ACP, 从而A,P,B',C四点共圆. 于是?PB'B??PAC?90???ACB, 所以?CBP?90???ACB, 所以, BP?AC. 而AP?BC, 故P是?ABC的垂心.

(三) 旋转变换

将平面上图形中每一个点都绕一个定点O按定方向(逆时针或顺时针)转动定角?的变换, 叫作旋转变换, 记为R(O,?). 点O叫作旋转中心, ?叫作转幅或旋转角.

易知, 在旋转变换下, 两对应线段相等, 两对应直线的交角等于转幅. 对于已知条件中含有正方形或等腰三角形或其它特殊图形问题, 往往可运用旋转变换来处理.

特别是在转幅为90?的旋转变换下, 两对应线段垂直且相等. 而转幅为180?的旋转变换称为中心对称变换, 记为C(O). 在中心对称变换下, 任意一对对应点的连线段都通过旋转中心(此时称为对称中心), 且被对称中心所平分. 由于中心对称变换的这一特殊性, 凡是与中点有关的平面几何问题, 我们可以考虑用中心对称变换处理.

例1.3 设圆T1与圆T2交于A,B两点. 圆T1在A点的切线交圆T2于C, 圆T2在A点的切线交圆T1于D. M是CD的中点. 求证:

?CAM??DAB. (中国国家队培训, 2007)

证明: 如图所示, 作中心对称变换C(M), 设

A?A', 则四边形ACA'D是一个平行四边形. 设AB的延长线交CA'于E, 则

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