数学思想方法的力量

我想这是很难产生有说服力、有用的成果的，因为这些题目理论性太强，不搞纯理论的人很难对它们形成直接感受，而教科研要在“心动”基础上的“行动”才有效。

二是局限于解题研究中的技巧堆砌。解题研究是一线教师教科研的重要选题，如果围绕“如何解题”、“怎样教会学生解题”等开展研究，通过实证和理论分析，深入讨论解题的功能（如解题与理解数学知识、培养思维能力等的关系）、成功解题的基本条件、解题的基本思维策略、解题的思维过程等，探讨通过科学、有序的解题训练而使学生形成良好的数学认知结构、发展数学能力并进而养成数学地看待和解决现实问题的习惯等的规律，那么研究对教学会有很强的正效用。但许多教师却热衷于“解法一、解法二??”，沉浸在题型归类上，举的例子是“老面孔”（最近大家都用高考题），所用的“招数”也是“老套路”，这样的研究作用就有限了。

一线教师的长处在于“天天要上课”。只要做有心人，勤于记录教学中的点滴火花，并勤于思考其中的成败得失，积累一段时间后就能形成一定的想法，再进行归纳概括就有基础了，写出的文章也会有观点、见解了。我认为，一线教师只有真心诚意地热爱教科研，使之成为自己的生活常态甚至成为生活方式，专心致志地研究教学，在实践过程中随时随地思考、随时随地发现、随时随地实践、随时随地体验、随时随地领悟、随时随地反省、随时随地概括总结，才能使自己在教师专业化的道路上走得更快、更远。

在领悟数学知识蕴含的思想方法上下功夫

章建跃

陈振宣先生关于“构建数学核心概念意象”的论述，其主旨是追究概念的本源，寻找适当的模型表达。其实，中学数学的内容，追本溯源，都有本质的精简性、思想的朴实性，本源上都是自然且直观的。因此，把数学教得平易近人、精简实用应是数学教师的基本追求。

不久前看到一篇“等差数列前n项和公式的推导”的教学论文。文中提到，“倒序求和”是重要的思想方法，由高斯求1+2+?+100的方法得不出“倒序求和法”。因此，“人教A版”应当改变设计思路，以“梯形钢管堆的计数”“梯形面积”等引出“倒序求和”法。

是否老师们都认为“倒序求和”是重要的思想方法呢？在网上搜索相关文献，发现大多数老师持这一观点，并且都紧紧围绕这一“思想方法”展开教学，不遗余力地要让学生掌握这一方法。教材培训时的“即兴调查”结果也一样，大多数老师认为推导等差数列求和公式的思想方法是“倒序求和”。

我认为，“倒序求和”并不是什么思想方法，“重要”就更谈不上了，它只是为了避免对项数n进行奇偶讨论而引入的一个技巧，并不具有根本的重要性。

事实上，推导等差数列{an}前n项和公式的核心思想是：用等差数列的性质“等差数列{ an }中，当m +n=p +q时，am + an = ap + aq ”，将不同数求和化归为相同数求和，数量关系上看是利用了“平均数”概念；进一步地，如果从等差数列的概念和通项公式出发，由于Sn=na1 +d[1+2+?+(n－1)]，问题可化归为求1+2+?+(n－1)。所以，“人教A版”的设计思路，即：从“高斯的故事”引入，再归纳高斯方法的本质，明确其实质是用了上述性质，然后再用这一方法求1+2+?+n的值（需要分n为奇数、偶数），最后再过渡到一般等差数列的求和公式，是一种聚焦基本概念和基本原理，引导学生经历从特殊到一般的归纳过程，从中领悟“化归”的思想方法的思路。“倒序求和”的技巧可以在讨论n的奇偶性而获得求和

公式后，再让学生思考“能否想个办法避免讨论”，把公式

变形为2 Sn=n(a1

+ an)，再联系性质而得到。因此，“倒序求和”的技巧实际上是“倒过来想”的产物，估计前人也是出于避免对n的奇偶讨论而想到的。许多老师都在为这一“思想方法”的自然引出而绞尽脑汁，但我认为，如果仅仅盯在“倒序求和”上是做不到的，因为它不是“原发性”的，不是求和公式这一“内容所反映的思想方法”。

因此，应把“等差数列前n项和公式”看成是等差数列概念、性质的应用课。这一课的教学，重要的是要培养学生从基本概念、基本原理出发思考问题的习惯。具体教学时，应在明确任务（即用基本量a1，d，n(或a1，an，n)表示Sn）的基础上，引导学生从基本性质、通项公式入手，寻找化归的方法，在不断“求简”的追求中得到“倒序求和”。

顺便提及，在等差数列{an}中，看看a1=1，d=1这一特例，考察一下它与一般等差数列的关系，不难发现：最简单、最本质的等差数列就是1，2，3，?，n?，这就是等差数列的意象。其他都是它的“变式”——a1代表不同“起点”，d代表不同“步长”。研究等差数列时，想想自然数的性质是很有启发的。

领悟数学知识所蕴含的思想方法是教师的基本功，也是构建合理的教学过程、提高课堂教学有效性的前提。

数学教学要“准”“精”“简”

章建跃

第三期的选稿、审稿终于完成时，长长地舒了一口气。由于本刊尚属初创，稿源不足，除了部分约稿外，其余的稿件选择余地不大，因此有的既定栏目只能“留空”，而“课堂教学研究”等栏目的稿件又稍嫌多了。这样的“不平衡”希望能在广大读者的关注下很快得到改观。另外，时逢春节，本期排版、编校方面也由于人手不够等原因而肯定存在瑕疵。就像一个婴儿蹒跚学步一样，本刊在初创阶段出现的不足，希望得到读者的谅解。

因为本期关于课堂教学研究的文章多了，所以对这方面的问题谈点个人想法。数学教学研究，如何提高课堂教学质量和效益始终是核心问题。在“大众教育”的前提下，大面积提高数学教学质量更是关键。为此，数年前，本人曾提出提高课堂教学质量的“三、二、一”：

? 三个理解——理解数学、理解学生、理解教学；

? 两个关键——提好的问题、设计自然的过程；

? 一个核心——概括。

其依据是本人长期、大量的数学课堂观察。从数学教师的专业化角度看，导致教学质量不高的因素主要有：首要的是教师自己的数学理解不到位，导致教得不“准”——或者是没有围绕概念的核心，或者教错了；由此产生的连带问题是教得不“精”——让学生在知识的外围重复训练，耗费学生大量时间、精力却达不到对知识的深入理解，教得不“简”——在细枝末节上下功夫，把简单问题复杂化了；第三，违反学生的认知规律，典型做法是：基础知识教学搞“一个定义，三项注意”，学生没有经历知识发生发展过程的机会，没有经过自

己独立思考而概括出概念和原理的机会，解题教学搞“一步到位”，在学生没有必须的认知准备时就要他们做高难度的题目。最近的调研发现，这些问题有越来越严重的趋势。

总之，提高课堂教学质量，任重道远。希望广大数学教师能贡献自己的智慧，把自己实践中的经验教训总结出来，以有说服力的案例方式参与讨论。

让学生学真正的数学

章建跃

我以《数学课要教数学》为题写了第6期的“编后絮语”，并认为，以伍鸿熙提出的数学的五个基本原则进行数学教学，是“数学课教数学”的基本要求。下面我想继续这一话题，谈谈如何让学生学真正的数学。

本期刊登的《作为中小学教育任务的概率》，徐章韬老师按照“目的—知识—方法”的结构剖析了“作为中小学教育任务的概率”，实际上讨论了“怎样才是真正的让学生学概率”。概率是一个在区间[0，1]中取值的分数。以确定性数学的观点看，用到的数学知识很简单，以至于有相当多的老师认为课标设置的“必修3”中的统计和概率“与初中差不多，没什么可学的”。但统计与概率的学习，焦点并不在计算上，而是在“体会用样本估计总体及其特征的思想”，“体会统计思维与确定性思维的差异”，“注意到统计结果的随机性，统计推断的可误性”，“加深对随机现象的理解，正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性”。显然，这些学习内容就不是那么简单了。可以借用史宁中的例子加以说明：

袋中装有若干个红球和白球，一方面，每次摸出的球的颜色可能是不一样的，事先无法确定；另一方面，有放回地重复摸多次（摸完后将球放回袋中，摇晃均匀后再摸），从摸到球的颜色的数据中就能发现一些规律，比如红球多还是白球多、红球和白球的比例等。

一个袋子里有5个球，4个白球、1个红球。如果让学生通过摸来验证出现白球、红球的可能性分别是4/5和1/5，这不是统计。统计是这样的：告诉学生袋子里有很多白球和红球，让学生去摸，摸到一定程度时，学生发现摸出白球的次数比红球的次数多，由此推断袋子里白球可能比红球多。进一步地，能推断出袋子里白球和红球的比例大概是多少。再告诉球的总数，能够估计出来几个白球和几个红球。这才是统计的过程。

上述过程学生学到了什么呢？我想大概就是史教授提到的“数据分析观念”的三个方面：第一，了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中是蕴含着信息的；第二，了解对于同样的数据可以用多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；第三，通过数据分析体验随机性。数据的随机性主要有两层涵义：一方面，对于同样的事情，每次收集到的数据可能会是不同的；另一方面，只要有足够的数据就可能从中发现规律。

可以这样说，凡是涉及思想性、观念性的东西，都是需要长期的、潜移默化的过程才能真正有所领悟的。有些老师认为“必修3”没什么好教的，实在是自己没有体会到“到底该让学生学什么”！

关注学生的感受最重要

章建跃

大家都认同“关注学生的感受最重要”这一命题，因为学习终究是学生自己的事情。课堂教学中，如果我们的教学不能打动学生，学生对我们的讲解无动于衷，那么他们就不可能

有心领神会的心灵共鸣，我们讲得再精彩也只能是无功而返。所以，时刻观察学生的一举一动、表情神态，采取一定措施了解他们对新知识的理解程度，并根据他们的表现及时调整教学进程，就成为考察教师专业化发展水平的指标之一。那么，怎样才能有效地得到学生学习状况的信息，从而准确把握学生的感受呢？

本期刊登的“‘古典概型’教学应该侧重什么”和“一例程序框图的教学思考”两文给我很多启发。从他们的文章中可以看到，教师准确理解概念并作出教学解读，教学过程中认真观察和忠实记录学生的反应——特别是出现理解偏差的地方，课后做好教学反思（必要时对学生做针对性访谈），是准确把握学生学习感受的三个重要环节。

强调教师对概念的理解和教学解读，是因为教师可以从这一过程中大致了解学生的概念理解心路历程，从中获得把握学生学习感受的启发。事实上，概念的教学解读必须关注到学生的感受，这样才能使教学预设成为教学实践的有效线索。例如，学习“古典概型”，重要的是理解它的两个特征。在解释“标准化考试中，为什么多选题比单选题更难猜对”时，学生有两种回答：因为选项不确定，可能选两个，也可能选三个，选错一个就错了；基本事件的总数多了，选错的可能性就大了。这种回答隐藏着什么问题呢？学生是在用古典概型的特征作判断吗？我认为，教师能否关注到这些，取决于他自己对这一问题的理解深度。如果理解不到位，那么他就不会意识到强调“假定考生不会做”和“选择其中任何一个答案的可能性相等”的重要性，这必然会给古典概型的教学埋下隐患。

对学生的概念理解偏差作忠实记录，其意义在于为教学反思提供依据，这一点不用多说。这里着重说说课后反思问题。对学生学习感受的分析应当成为反思的重点之一。例如，在阅读“判断整数（大于2）是否为质数”的程序框图时，鲁老师他们发现，学生对判断框中的“

或

”后的走向有疑惑：“或

”成立后怎么还问“

或

”是一个式子成立还

是两个都成立呢？“”是否成立？经过分析，他

们不仅找到了原因，而且形成了化解的方法：先为学生架一座“桥”——将“自然语言”直接翻译成用文字语言描述的“程序框图”，再在后续的学习中逐步完善。反思后的教学设计充分关注了学生的感受，教学的效益一定会大大提升。

“关注学生的感受”，其本质是“学生是主体”的学生观在教师教学行为上的反映。观念变为行动的过程，实质是教学行为习惯养成的过程，常常需要我们的终身努力。