2020届高考理科数学二轮专题检测：高难拉分攻坚特训（四）

高难拉分攻坚特训(四)

1．设数列{an}的前n项和为Sn，an＋1＋an＝2n＋1，且Sn＝1350.若a2<2，则n的最大值为( )

A．51 B．52 C．53 D．54 答案 A

解析 因为an＋1＋an＝2n＋1 ①， 所以an＋2＋an＋1＝2(n＋1)＋1＝2n＋3 ②，

②－①得an＋2－an＝2，且a2n－1＋a2n＝2(2n－1)＋1＝4n－1，所以数列{an}的奇数项构成以a1为首项，2为公差的等差数列，数列{an}的偶数项构成以a2为首项，2为公差的等差数列，数列{a2n－1＋a2n}是以4为公差的等差数列，

n?n＋1???2＋?a1－1?，n为奇数，

所以Sn＝?n?n＋1?

??2，n为偶数.当n为偶数时，

n?n＋1?

2＝1350，无解(因为50×51＝2550,52×53＝2756，所

n?n＋1?

以接下来不会有相邻两数之积为2700)．当n为奇数时，2＋(a1－1)＝1350，

n?n＋1?n?n＋1?

a1＝1351－2，因为a2<2，所以3－a1<2，所以a1>1，所以1351－2>1，所以n(n＋1)<2700，又n∈N*,51×52＝2652，所以n≤51，故选A.

2．底面为正多边形，顶点在底面的射影为底面多边形中心的棱锥为正棱锥，则半径为2的球的内接正四棱锥的体积最大值为________．

512答案 81

解析 因为正四棱锥内接于球内，且欲使正四棱锥的体积最大，则球的球心2

在正四棱锥的高上，如图所示，其中球的球心为E点，设BC＝a，则BO＝2a，

a2在Rt△EOB中，则有EO＋OB＝EB，故EO＝ 4－2，正四棱锥的高为a21a2a2?2?2＋ 4－2，正四棱锥的体积为V＝3×a×?2＋4－?，令x＝ 4－2，x

2??

2

2

2

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11

∈(0,2)，则V(x)＝3×(8－2x2)×(2＋x)，即V(x)＝3×(－2x3－4x2＋8x＋16)，对V(x)1

求导得，V′(x)＝3×(－6x2－8x＋8)，令V′(x)＝0，即－6x2－8x＋8＝0，解得x2?2??2?

＝或x＝－2(舍去)，当x∈?0，3?时，V′(x)>0，V(x)单调递增，当x∈?3，2?时，3????

2512

V′(x)<0，V(x)单调递减，故当x＝3时，V(x)max＝81. －

?ex＋1，x≤0，

3．已知函数f(x)＝?函数y＝f[f(x)＋1]－m(m∈R)恰有两个零

?2x，x>0.

点x1和x2.

(1)求函数f(x)的值域和实数m的最小值；

(2)若x10时，f(x)＝2x>0. ∴f(x)的值域为(0，＋∞)． 令f[f(x)＋1]＝m，

∵f(x)＋1>1，∴f[f(x)＋1]>2，∴m>2.

又f(x)的单调递减区间为(－∞，0]，单调递增区间为(0，＋∞)． 设f(x)＋1＝t1，f(x)＋1＝t2，且t1<0，t2>1. ∴f(x)＝t1－1无解．

从而f(x)＝t2－1要有两个不同的根，应满足t2－1≥2， ∴t2≥3.

∴f(t2)＝f[f(x)＋1]≥23.即m≥23. ∴m的最小值为23.

(2)y＝f[f(x)＋1]－m有两个零点x1，x2且x1

∴e－x1＋1＝t，∴x1＝－ln (t－1)．

t2

2x2＝t，∴x2＝4. t2

∴－aln (t－1)＋4≥1对t∈[2，＋∞)恒成立，

t2

设h(t)＝－aln (t－1)＋4－1，

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－att2－t－2a

h′(t)＝＋＝.

t－122?t－1?

∵t∈[2，＋∞)，∴t2－t∈[2，＋∞)恒成立． ∴当2a≤2，即a≤1时，h′(t)≥0， ∴h(t)在[2，＋∞)上单调递增． ∴h(t)≥h(2)＝－aln 1＋1－1＝0成立． 当a>1时，设g(t)＝t2－t－2a.

由g(2)＝4－2－2a＝2－2a<0，t→＋∞时，g(t)→＋∞. ∴?t0∈(2，＋∞)，使得g(t0)＝0.

且当t∈(2，t0)时，g(t)<0，t∈(t0，＋∞)时，g(t)>0.

∴当t∈(2，t0)时，h(t)单调递减，此时h(t)

4．已知F是抛物线C：x2＝2py，p>0的焦点，G，H是抛物线C上不同的两

5

点，且|GF|＋|HF|＝3，线段GH的中点到x轴的距离为4.点P(0,4)，Q(0,8)，曲线D→·→＝0.

上的点M满足MPMQ

(1)求抛物线C和曲线D的方程；

(2)是否存在直线l：y＝kx＋m分别与抛物线C相交于点A，B(A在B的左侧)、与曲线D相交于点S，T(S在T的左侧)，使得△OAT与△OBS的面积相等？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

5p3

解 (1)由抛物线定义知4＋2＝2，

1得p＝2，

故抛物线的方程为x2＝y.

→·→＝0得点M的轨迹D是以PQ为直径的圆， 由MPMQ其方程为x2＋(y－6)2＝4.

(2)由△OAT与△OBS的面积相等得|AT|＝|BS|，

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则|AS|＝|BT|，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，S(x3，y3)，T(x4，y4)， →＝(x－x，y－y)，TB→＝(x－x，y－y)， 由AS31312424→＝TB→得x－x＝x－x，即x＋x＝x＋x. 且AS31241243

(ⅰ)当直线l的斜率为0时，l的方程为y＝m，此时只需点(0，m)在圆D内即可，此时4

(ⅱ)当直线l的斜率不为0时，

?y＝kx＋m，由方程组?2得x2－kx－m＝0，

?x＝y因为直线l与抛物线交于A，B两点， 所以Δ＝k2＋4m>0，① 且x1＋x2＝k.

?y＝kx＋m，

由方程组?2 2

x＋?y－6?＝4?

得(1＋k2)x2＋2k(m－6)x＋(m－6)2－4＝0，

直线l与圆D交于S，T两点，所以圆心D(0,6)到直线l的距离 d＝

|m－6|

1＋k

即(m－6)2<4(1＋k2)，② 2k?m－6?

且x3＋x4＝－.

1＋k2

2k?m－6?

因为x1＋x2＝x4＋x3，所以k＝－，k≠0，

1＋k2化简得k2＝11－2m.

?11＋2m>0，

代入①②得?解得－2

??m－6?2<8?6－m?，11

又k2＝11－2m>0，∴－2

综上所述，实数m的取值范围为(－2,8)．

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