张量分析01

附录I 张量分析

近代力学在电子计算机的辅助下冲破了数学求解上的重重困难，取得了突飞猛进的发展，力求对复杂的物理现象和工程问题做出更为系统和真实的描述和研究。张量分析能以简洁的表达形式和清晰的推导过程来有效地描述复杂问题的本质，已被近代力学文献和教科书普遍采用。

作为入门，此处着重介绍笛卡儿坐标系和正交曲线坐标系中的张量。 I.1 矢量和张量的记法，求和约定

力学中常用的量可以分成三类：只有大小没有方向性的物理量称为标量。例如温度T 、密度?、时间t 等。既有大小又有方向性的物理量称为矢量，常用黑体（或加箭头）表示，为与课堂讲述一致，

????此处选择用上加箭头表示矢量。例如矢径r、位移u 、速度v、力f等。具有多重方向性的更为复杂的物理量称为张量，常用黑体（或加下横）表示，为与课堂讲述一致，此处选择用下加横线表示矢量。例如一点的应力状态要用应力张量来表示，它是具有二重方向性的二阶张量，记为?。

矢量可以在参考坐标系中分解。例如图1 中P点的位移u在笛卡儿坐标系?x1,x2,x3?中分解为

????u?u1e1?u2e2?u3e3?3i??uei?1?i (I.1)

??????其中u1、u2、u3是位移的三个分量，e1、e2、e3是沿坐标轴的三个单位基矢量。由此引出矢量（可

推广至张量）的三种记法：

?( l ）实体记法：把矢量或张量的整个物理实体用一个黑体字母或上加箭头来表示。例如把位移记为u。 ( 2 ）分解式记法：同时写出矢量或张量的分量和相应分解方向的基矢量。例如用式(I.1)表示位移u。 ( 3 ）分量记法：把矢量或张量用其全部分量的集合来表示，省略相应的基矢量。例如用三个位移分量

?ui?i?1,2,3?的集合表示位移u。

?下面详细讨论后两种记法中广泛采用的指标符号。

对于一组性质相关的n个量可以采用指标符号来表示。例如，n维空间中矢量a的n个分量a1，?，an可缩写成ai?i?1,2,?,n?。在笛卡儿坐标系中一律采用下指标。后面括号里用i?1,2,?,na2，

标明该指标的取值范围。n就是空间维数。通常约定：如果不特别标明取值范围，则拉丁指标i，j，

k，?均为三维指标，取值1，2，3；希腊指标?，?，?，?为二维指标，取值1，2。

?初等代数中常用抽象字母a表示某一个数，加上抽象指标i后的指标符号则表示某一组数。 下面通过例子来说明指标符号的正确用法。

1．三维空间中任意点P的三个直角坐标x,y,z用指标符号可缩写成xi，其中x1?x,x2?y,x3?z。

??a2．两个矢量和b的分量可记为ai和bi。它们的点积（或称数量积）为：

??a?b?a1b1?a2b2?a3b3?3?abii?1i ( I.2 )

引进爱因斯坦（A . Einstein ）求和约定：

如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。该重复指标称为哑指标，简称哑标。

用哑标代替求和符号，式（I.1）和（I.2）简化成

??u?uiei ( I.1a )

??a·b?aibi ( I.2a )

显然aibi?biai，即矢量点积的顺序可以交换：

????a·b?b·a ( I.3 )

由于哑标i仅表示要遍历求和，因此可以成对地任意换标。例如，式( I.2a )可写成

??a·b?aibi?ajbj?ambm 只要指标j或m在同项内仅出现两次，且取值范围和i相同。 3．采用指标符号后，线性变换

??a11x1?a12x2?a13x3?a1jxj?x1???a21x1?a22x2?a23x3?a2jxj ( I.4 ) ?x2?x??ax?ax?ax?ax3113223333jj?3可简写成

xi??aijxj ( I.5 )

这里j是哑标，与之对应，i称为自由指标。在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内重复出现两次。自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值关系式将始终成立。当i分别取l 、2、3 时，( I.5 ) 式给出三个独立方程，即( I.4 )式。

自由指标仅表示要轮流取值，因此也可以换标。例如，( I.5 )式可写成

??akjxj xk只要k和i的取值范围相同。换自由指标时应注意：

（1） 同时取值的指标必须同名，独立取值的指标应防止重名。

例如，在某个推导过程中，要把两个原来记为ai和bi的矢量相加，得合矢量ck。根据对应分量相加的原则，指标应取同名而写成ci?ai?bi或cj?aj?bj。反之，若要把某矢量的分量ai和曾记为bi的另一个矢量的分量逐个地两两相乘，则指标应取异名而写成aibj，当i和j轮流取1、2、3时，aibj共表示九个数。如果误写为aibi则成为矢量点积( I.2a )式了，它只是一个数。

又如：

(a1b1?a2b2?a3b3)?c1d1?c2d2?c3d3??aibicjdj?aibicidi

自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同名自由指标全部改成同一个新名字。而哑指标可以成对地局部换名，表达式中不同项内的同名哑指标必要时可以换成不同的新名字，或者有的换名，有的保留老名字。因为根据求和约定，哑标的有效范围仅限于本项。

4．指标符号也适用于微分表达式。例如，三维空间中线元长度ds、和其分量dxi之间的关系

?ds?2??dx1???dx2???dx3?可写成

2222 ds?dxidxi ( I.6 )

多变量函数f?x1,x2,?,xn?的全微分可写成

df??f?xidxi ?i?1,2,?,n? ( I.7 )

5．可用同项内出现两对以上不同哑标的方法来表示多重求和。例如

33ijaijxixj???ai?1j?1xixj ( I.8 )

表示共有九项求和。

6． 若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，一般应加求和号。或者，在多余指标下加一横，表示该指标不计指标数。如：

3a1b1c1?a2b2c2?a3b3c3??abciii?1i?aibici ( I.9 )

当自由指标在同项内出现两次时，一般应特别申明对该指标不作遍历求和。或者，在其中一个指标下加一横，表示不计指标数。例如：s?aii表示s?a11?a22?a33，但

ci?aii?bi ( I.10 )

则表示c1?a11?b1，c2?a22?b2，c3?a33?b3三个方程。

若能确定不至引起混淆，也可以不必在不计指标数的指标下加横线。 7．请注意下式中的不等号。

a1?a2?a3?aiai?ai ( I.11 )

22228．一般说，不能由等式

aibi?aici （即a1b1?a2b2?a3b3?a1c1?a2c2?a3c3 ） ( I.12 )

“两边消去”ai导得

bi?ci （即b1?c1，b2?c2，b3?c3） ( I.13 )

但是，如果ai可以任意取值而( I.12 )式始终成立．则只要取a1?1，a2?a3?0就可由( I.12 )导出b1?c1。同理，若取?a1,a2,a3?为?0,1,0?和?0,0,1?，则可导出b2?c2和b3?c3。所以( I.13 )式成立的前提是“ai任意”而不是简单地“消去ai”。综上所述，通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自由指标又把许多方程缩写成一个方程。一般说，在一个用指标符号写出的方程中，若有k个独立的自由指标，它们的取值范围是l～n ，则这个方程代表了n个分量方程。在方程的某项中若同时出现m对取范围为l～n的哑指标，则此项含相互迭加的n个项。显然，指标符号使书写变得十分简洁，但也必须十分小心，因为许多重要的含义往往只表现在指标的细微变化上。熟练地使用指标符号，分清自由指标和哑指标并正确地对它们进行换标是张量分析人门时的基本功。

m

k