人教版高中数学知识点总结：新课标人教A版高中数学选修4-5知识点总结

高中数学选修4-5知识点总结

1、不等式的基本性质 ①（对称性）a?b?b?a ②（传递性）a?b,b?c?a?c

③（可加性）a?b?a?c?b?c

（同向可加性）a?b,c?d?a?c?b?d （异向可减性）a?b,c?d?a?c?b?d ④（可积性）a?b,c?0?ac?bc

a?b,c?0?ac?bc ⑤（同向正数可乘性）a?b?0,c?d?0?ac?bd （异向正数可除性）a?b?0,0?c?d?a?b

cd⑥（平方法则）a?b?0?an?bn(n?N,且n?1) ⑦（开方法则）a?b?0?na?nb(n?N,且n?1) ⑧（倒数法则）a?b?0?2、几个重要不等式 1111?;a?b?0?? ababa2?b2. ①a?b?2ab?a，b?R?,（当且仅当a?b时取\?\号）. 变形公式：ab?222②（基本不等式）

a?b?ab ?a，b?R??,（当且仅当a?b时取到等号）. 22?a?b?变形公式： a?b?2ab ab???.

2??用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、

三相等”.

③（三个正数的算术—几何平均不等式）

a?b?c3?abc(a、b、c?R?)（当且仅当3a?b?c时取到等号）.

④a?b?c?ab?bc?ca?a，b?R?

222（当且仅当a?b?c时取到等号）. ⑤a?b?c?3abc(a?0,b?0,c?0) （当且仅当a?b?c时取到等号）. ⑥若ab?0,则333ba??2（当仅当a=b时取等号） ab

ba若ab?0,则???2（当仅当a=b时取等号）

abbb?ma?na⑦?（其中a?b?0，m?0，n?0) ?1??，aa?mb?nb规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧当a?0时，x?a?x2?a2?x??a或x?a;

x?a?x2?a2??a?x?a.

⑨绝对值三角不等式a?b?a?b?a?b.

3、几个著名不等式 2a?ba2?b2?（a,b?R①平均不等式：?1，，当且仅当a?b时取\?\?ab???1a?b22号）.

（即调和平均?几何平均?算术平均?平方平均）. 变形公式：

22(a?b)2?a?b?a?b22. ab??; a?b???22?2?2②幂平均不等式：

a12?a22?...?an2?1(a1?a2?...?an)2. n③二维形式的三角不等式：

x12?y12?x22?y22?(x1?x2)2?(y1?y2)2(x1,y1,x2,y2?R). ④二维形式的柯西不等式：

(a?b)(c?d)?(ac?bd)(a,b,c,d?R).当且仅当ad?bc时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式：

22222(a12?a22?a32)(b12?b22?b32)?(a1b1?a2b2?a3b3)2.

⑥一般形式的柯西不等式：

(a12?a22?...?an2)(b12?b22?...?bn2)?(a1b1?a2b2?...?anbn)2.

⑦向量形式的柯西不等式：

设?,?是两个向量，则??????,当且仅当?是零向量，或存在实数k，使??k?时，等号成立.

⑧排序不等式（排序原理）：

设a1?a2?...?an,b1?b2?...?bn为两组实数.c1,c2,...,cn是b1,b2,...,bn的任一排列，

则a1bn?a2bn?1?...?anb1?a1c1?a2c2?...?ancn?a1b1?a2b2?...?anbn.（反序和?乱序和?顺序和），当且仅当a1?a2?...?an或b1?b2?...?bn时，反序和等于顺序和. ⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1?x2),有

f(x1?x2f(x1)?f(x2))?或22f(x1?x2f(x1)?f(x2)则称f(x)为凸（或凹）函数.

)?.224、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；

其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法：

①舍去或加上一些项，如(a?)?②将分子或分母放大（缩小）， 如

12231?(a?)2; 4211112212?,???, ?, k2k(k?1)k2k(k?1)2kk?kkk?k?112?(k?N*,k?1)等. kk?k?15、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式ax?bx?c?0(或?0)

2(a?0,??b2?4ac?0)解集的步骤：

一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象.

五解集：根据图象写出不等式的解集.

规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 6、高次不等式的解法：穿根法. 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.

7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

f(x)?0?f(x)?g(x)?0g(x)?f(x)?g(x)?0f(x)?0??g(x)?g(x)?0 （时同理） “?或?”规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解

⑴ ⑵?f(x)?0 f(x)?a(a?0)??2?f(x)?a?f(x)?0 f(x)?a(a?0)??2?f(x)?a?f(x)?0?f(x)?0? f(x)?g(x)??g(x)?0或??f(x)?[g(x)]2?g(x)?0??f(x)?0? f(x)?g(x)??g(x)?0?f(x)?[g(x)]2??f(x)?0? f(x)?g(x)??g(x)?0?f(x)?g(x)?⑶⑷⑸规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法： ⑴当a?1时,af(x)?ag(x)?f(x)?g(x)

f(x)⑵当0?a?1时, a?ag(x)?f(x)?g(x)

规律：根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法

?f(x)?0?⑴当a?1时, logaf(x)?logag(x)??g(x)?0

?f(x)?g(x)??f(x)?0?. ⑵当0?a?1时, logaf(x)?logag(x)??g(x)?0?f(x)?g(x)?规律：根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法：a???a(a?0).

?a(a?0)?22⑵平方法：f(x)?g(x)?f(x)?g(x). ⑶同解变形法，其同解定理有： ①x?a??a?x?a(a?0);