(江苏专用)2021新高考数学一轮复习第二章函数2.7对数函数练习

2.7 对数函数

log1(2x?1)1．(2019·扬州中学期中)函数y＝

2的定义域为( )

?1?A.?，＋∞? ?2??1?C.?，1? ?2?

答案 A

B．[1，＋∞) D．(－∞，1)

log1(2x?1)解析 要使函数y＝

2有意义，

1

则2x－1>0，解得x>，

2

?1?即函数的定义域为?，＋∞?. ?2?

2．已知a，b>0且a≠1，b≠1，若logab>1，则( ) A．(a－1)(b－1)<0 C．(b－1)(b－a)<0 答案 D

解析 由a，b>0且a≠1，b≠1，及logab>1＝logaa可得，当a>1时，b>a>1，当0

代入验证只有D满足题意．

1

3．函数y＝ln的图象为( )

|2x－3|

B．(a－1)(a－b)>0 D．(b－1)(b－a)>0

答案 A

3

解析 易知2x－3≠0，即x≠，排除C，D.

23

当x>时，函数为减函数；

2

3

当x<时，函数为增函数，所以选A.

2

1

4．(2020·南京质检)若01的解是( )

logaxA．x>aB．a1D．0

解析 易得0

log1(x2－4)5．函数f (x)＝A．(0，＋∞) C．(2，＋∞) 答案 D

2的单调递增区间为( )

B．(－∞，0) D．(－∞，－2)

log1t解析 函数y＝f (x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f (x)由y＝与t＝g(x)＝x－4复合而成，

2

2log1t又y＝

2在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，

所以函数y＝f (x)在(－∞，－2)上单调递增． 6．已知函数f ??log2x，x>0，(x)＝?x?2，x≤0，?

且关于x的方程f (x)－a＝0有两个实根，则实数a的取值范围为( )

A．(0,1] B．(0,1) C．[0,1] D．(0，＋∞) 答案 A

解析 作出函数y＝f (x)的图象(如图)，欲使y＝f (x)和直线y＝a有两个交点，则0

1－x7．(多选)关于函数f (x)＝ln，下列说法中正确的有( )

1＋xA．f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．f (x)为奇函数

C．f (x)在定义域上是增函数

?x1＋x2?

D．对任意x1，x2∈(－1,1)，都有f (x1)＋f (x2)＝f ???1＋x1x2?

答案 BD

1－x?2－1?，

解析 函数f (x)＝ln＝ln??1＋x?1＋x?其定义域满足(1－x)(1＋x)>0，解得－1

1＋x?1－x?－1＝－ln1－x＝－f (x)，是奇函数，∴B对． 由f (－x)＝ln＝ln??1－x1＋x?1＋x?2函数y＝－1在定义域内是减函数，根据复合函数的单调性，同增异减，

1＋x∴f (x)在定义域内是减函数，C不对．

f (x1)＋f (x2)＝ln

＝ln?

1－x11－x2

＋ln 1＋x11＋x2

?1－x1×1－x2?＝f ??1＋x11＋x2?

1－x?x1＋x2?.∴D对． ?1＋x1x2???

8．设函数f ??2，x≤1，

(x)＝?

?1－log2x，x>1，?

则满足f (x)≤2的x的取值范围是__________．

答案 [0，＋∞) 解析 当x≤1时，由2

1－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；

1

当x>1时，由1－log2x≤2，解得x≥，所以x>1.

2综上可知x≥0.

9．(2019·南通模拟)设实数a，b是关于x的方程|lgx|＝c的两个不同实数根，且a

解析 由题意知，在(0,10)上，函数y＝|lgx|的图象和直线y＝c有两个不同交点(如图)，∴ab＝1,0

10．已知函数f (x)＝ln，若f (a)＋f (b)＝0，且0

1－x________．

x?1?答案 ?0，?

4

?

?

解析 由题意可知ln＋ln＝0，

1－a1－bab即ln?

?a×b?＝0，从而a×b＝1，

?1－a1－b?1－a1－b?

化简得a＋b＝1，

?1?212

故ab＝a(1－a)＝－a＋a＝－?a－?＋，

?2?4

又0

1?1?211

所以0

2?2?44

11．设f (x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，且a≠1)，且f (1)＝2. (1)求实数a的值及f (x)的定义域；

?3?(2)求f (x)在区间?0，?上的最大值．

?2?

解 (1)∵f (1)＝2，∴loga4＝2(a>0，且a≠1)，

?1＋x>0，?

∴a＝2.由?

??3－x>0，

得－1

∴函数f (x)的定义域为(－1,3)． (2)f (x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)

＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)＋4]， ∴当x∈(－1,1]时，f (x)是增函数； 当x∈(1,3)时，f (x)是减函数，

2

?3?故函数f (x)在?0，?上的最大值是f (1)＝log24＝2.

?2?

12．是否存在实数a，使得f (x)＝loga(ax－x)在区间[2,4]上是增函数？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由． 1?21?2

解 设t＝ax－x＝a?x－?－.

?2a?4a若f (x)在[2,4]上是增函数， 0

则?≥4，2a??16a－4>0

2

a>1，

??1

或?≤2，2a??4a－2>0，

解得a>1.

∴存在实数a满足题意，即当a∈(1，＋∞)时，f (x)在[2,4]上是增函数．

ex?e?＋f 13．已知函数f (x)＝ln，若f ??e－x?2021??2e?＋…＋f ?2021????2020e?＝1010(a＋b)，

?2021???