高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数2.3函数的奇偶性与周期性练习题（含解析）

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一、选择题

1．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)等于( )． A．3 B．1 C．－1 D．－3 解析 由f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.则b＝－1，

xf(x)＝2x＋2x－1，f(－1)＝－f(1)＝－3.

答案 D

2．已知定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为

( )．

A．－1 B．0 C．1 D．2 π

解析 (构造法)构造函数f(x)＝sin x，

2则有f(x＋2)＝sin?

?π?2

x＋

?＝－sin πx ?2?

π

＝－f(x)，所以f(x)＝sin x是一个满足条件的函数，

2所以f(6)＝sin 3π＝0，故选B. 答案 B

【点评】 根据函数的性质构造出一个符合条件的具体函数，是解答抽象函数选择题的常用方法，充分体现了由抽象到具体的思维方法. 3．若函数f(x)＝xx＋

x－a为奇函数，则a＝( )．

123

A. B. C. D．1 234解析 (特例法)∵f(x)＝∴f(－1)＝－f(1)， ∴

－1

－2＋

－1－a＝－

1＋

－a，

xx＋

x－a是奇函数，

1∴a＋1＝3(1－a)，解得a＝. 2

1

答案 A

【点评】 本题采用特例法，可简化运算，当然也可用奇函数的定义进行解题，不过过程较为繁琐，若运算能力较弱容易出错.

4． 已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2009)＋f(2011)的值为( )

A．－1 B．1

C．0 D．无法计算

解析 由题意得g(－x)＝f(－x－1)，又因为f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，

∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)， ∴f(x)的周期为4，

∴f(2009)＝f(1)，f(2011)＝f(3)＝f(－1)，

又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0，∴f(2009)＋f(2011)＝0. 答案 C

5．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为( )． 13|x|

A．y＝ln B．y＝x C．y＝2 D．y＝cos x

|x|

1

解析 f(x)＝ln 满足f(－x)＝f(x)，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－ln x，显然f(x)在(0，＋∞)上

|x|是减函数，故选A. 答案 A

6．设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋3)＝－＝( )

11

A．10 B. C．－10 D．－ 1010

1?1?解析 由f(x＋6)＝－＝f(x)知该函数为周期函数，周期为6，所以f(107.5)＝f?6×18－?＝2?fx＋?

111?1??1??1?f?－?，又f(x)为偶函数，则f?－?＝f??＝－＝－＝. －1010?2??2??2??5?f?－?

?2?

答案 B

7．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )．

A．6 B．7 C．8 D．9

解析 当0≤x＜2时，令f(x)＝x－x＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1(舍去)，又f(x)的最小正周期为2， ∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝f(6)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝0， ∴y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7. 答案 B 二、填空题

8.已知函数f(x)?x?(m?2)x?3是偶函数,则m= .

2

23

3

1

fx，且当x∈[－3，－2]时，f(x)＝4x，则f(107.5)

解析 本题考查了函数的奇偶性.f(x)为偶函数,则m+2答案 -2

-2.

9．设f(x)是偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(2x)＝f?解析 ∵f(x)是偶函数，f(2x)＝f?∴f(|2x|)＝f??

?x＋1?的所有x之和为________．

??x＋4?

?x＋1?，

??x＋4?

??x＋1??，

????x＋4??

又∵f(x)在(0，＋∞)上为单调函数，

?x＋1?，

∴|2x|＝??

?x＋4?x＋1x＋1

即2x＝或2x＝－，

x＋4x＋422

整理得2x＋7x－1＝0或2x＋9x＋1＝0，

22

设方程2x＋7x－1＝0的两根为x1，x2，方程2x＋9x＋1＝0的两根为x3，x4.

7?9?

则(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝－＋?－?＝－8.

2?2?

答案 －8

10．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y＜0的x的取值集合为________．

解析 由原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y＜0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．

答案 (－2,0)∪(2,5)

1

11．已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2 013)＝________.

4111

解析 法一 当x＝1，y＝0时，f(0)＝；当x＝1，y＝1时，f(2)＝－；当x＝2，y＝1时，f(3)＝－；

242111

当x＝2，y＝2时，f(4)＝－；当x＝3，y＝2时，f(5)＝；当x＝3，y＝3时，f(6)＝；当x＝4，y＝3

44211

时，f(7)＝；当x＝4，y＝4时，f(8)＝－；….

44∴f(x)是以6为周期的函数，

1

∴f(2 013)＝f(3＋335×6)＝f(3)＝－. 2

3

1

法二 ∵f(1)＝，4f(x)·f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，

41π

∴构造符合题意的函数f(x)＝cos x，

231?π1?∴f(2 013)＝cos?×2 013?＝－.

2?32?1

答案 － 2

12．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时f(x)

?1?1－x＝??，则 ?2?

①2是函数f(x)的周期；

②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；

?1?x－3

④当x∈(3,4)时，f(x)＝??.

?2?

其中所有正确命题的序号是________． 解析 由已知条件：f(x＋2)＝f(x)，

则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确； 当－1≤x≤0时0≤－x≤1，

f(x)＝f(－x)＝??1＋x，函数y＝f(x)的图象

2

如图所示：

?1???

当3

f(x)＝f(x－4)＝??x－3，因此②④正确．③不正确．

2

答案 ①②④ 三、解答题

13．已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－xlg(2－x)，求f(x)的解析式． 解析 ∵f(x)是R上的奇函数，可得f(0)＝0. 当x＞0时，－x＜0，由已知f(－x)＝xlg(2＋x)， ∴－f(x)＝xlg(2＋x)，即f(x)＝－xlg(2＋x)(x＞0)．

?1???

4