江西省赣州市龙南县实验中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学试卷（理科）

考点：一次函数的性质与图象． 专题：函数的性质及应用；直线与圆．

分析：判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可．

解答： 解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在， ∴k=

，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1

，

①×b2﹣②×b1得：（a1b2﹣a2b1）x=b2﹣b1， 即（a1﹣a2）x=b2﹣b1． ∴方程组有唯一解． 故选：B．

点评：本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解额指数的应用．

6．已知双曲线

的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支一的

任意一点，若A．（0，+∞） B．（1，2] C．D．（1，3]

的最小值为8a，则双曲线离心率的取值范围是( )

考点：双曲线的简单性质． 专题：计算题．

分析：由定义知：|PF1|﹣|PF2|=2a，|PF1|=2a+|PF2|，

=

=

，当且仅当

，即

|PF2|=2a时取得等号．再利用三线段长的关系，可求得双曲线的离心率的取值范围．

解答： 解：∵双曲线支一的任意一点

∴|PF1|﹣|PF2|=2a，|PF1|=2a+|PF2|， ∴

=

=

的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右

，

当且仅当

∴|PF1|=2a+|PF2|=4a

，即|PF2|=2a时取得等号

∵|PF1|﹣|PF2|=2a＜2c，|PF1|+|PF2|=6a≥2c， ∴e∈（1，3] 故选D．

点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意基本不等式的合理运用．

7．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为F1F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1?e2的取值范围是( ) A．（0，） B．C．D．

考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质． 专题：计算题．

分析：设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=r1，PF2=r2．利用三角形中边之间的关系得出c的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c的范围即可求出e1?e2的取值范围，即可得答案．

解答： 解：设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=r1，PF2=r2． 由题意知r1=10，r2=2c，且r1＞r2，2r2＞r1，

∴2c＜10，2c+2c＞10， ?＜c＜5．?

，

∴=；

=．

∴，

故选C．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、椭圆的简单性质、双曲线的简单性质、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．

8．若在曲线f（x，y）=0（或y=f（x））上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0或y=f（x）的“自公切线”．下列方程： ①x﹣y=1； ②y=x﹣|x|； ③y=3sinx+4cosx； ④|x|+1=

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2

对应的曲线中存在“自公切线”的有( ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

考点：命题的真假判断与应用．

专题：新定义．

分析：化简函数的解析式，结合函数的图象的特征，判断此函数是否有自公切线． 解答： 解：①、x﹣y=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；

2

2

②、y=x﹣|x|=

2

，在 x= 和 x=﹣ 处的切线都是y=﹣，故②有自公

切线．

③、y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=，sinφ=，

此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合，故此函数有自公切线． ④、由于|x|+1=故答案为 C．

点评：本题考查函数的自公切线的定义，函数图象的特征，准确判断一个函数是否有自公切线，是解题的难点．

9．已知A（1，0），曲线C：y=e恒过点B，若P是曲线C上的动点，且则a=( ) A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1

考点：指数函数的图像与性质；平面向量数量积的运算． 专题：函数的性质及应用；平面向量及应用． 分析：由题意可得B（0，1），1）处的切线与与

?

取得最小时，P，B重合，可得曲线C：y=e在点B（0，

ax

ax

，即 x+2|x|+y﹣3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．

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?的最小值为2，

垂直，即y′|x=0=1，由此求得a的值

0

解答： 解：因为 e=1所以B（0，1）． 考察∴

?在

的几何意义，因为上的投影长应是

，所以

?

取得最小时，

，所以P，B重合．