江西省赣州市龙南县实验中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学试卷（理科）

18．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE； （Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE； （Ⅲ）求二面角A﹣BE﹣D的大小．

，CE=EF=1．

19．已知函数f（x）=e（x+mx﹣2x+2）． （Ⅰ）假设m=﹣2，求f（x）的极大值与极小值；

（Ⅱ）是否存在实数m，使f（x）在上单调递增？如果存在，求m的取值范围；如果不存在，请说明理由．

20．（13分）已知椭圆C：1．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设F为椭圆C的右焦点，T为直线x=t（t∈R，t≠2）上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．

（ⅰ）若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求t的值； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当

21．（14分）已知函数f（x）=e﹣ax﹣1（a为常数），曲线y=f（x）在与y轴的交点A处的切线斜率为﹣1．

（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）证明：当x＞0时，e＞x+1；

x

2x

x

3

2

=1（a＞b＞0）的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为：

最小时，求点T的坐标．

（Ⅲ）证明：当n∈N时，

*

．

2014-2015学年江西省赣州市龙南县实验中学高二（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．若复数z满足（3﹣4i）z=|4﹣3i|，则z的虚部为( ) A．﹣4 B．﹣ C．4 D．

考点：复数求模． 专题：数系的扩充和复数．

分析：求出复数的模，然后利用复数的乘除运算法则化简求解即可． 解答： 解：复数z满足（3﹣4i）z=|4﹣3i|， z=

=

=

，

则z的虚部为：． 故选：D．

点评：本题考查复数的乘除运算法则的应用，复数的基本概念，是基础题．

2．命题“a，b是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是( ) A．a+b不是偶数，则a，b都不是偶数 B．a+b不是偶数，则a，b不都是偶数 C．a+b不是偶数，则a，b都是偶数 D．a，b都不是偶数，则a+b不是偶数

考点：四种命题间的逆否关系． 专题：规律型．

分析：根据命题的逆否命题和命题之间的关系确定结论即可． 解答： 解：否命题就是对原命题的条件和结论同时进行否定，

则命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题为：若a+b不是偶数，则a，b不都是偶数． 故选：B．

点评：本题主要考查四种命题之间的关系，比较基础．

3．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是( )

A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等

B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 考点：棱锥的结构特征． 专题：探究型．

分析：做该题，需要空间模拟一个四棱锥，将4个选项一一对应于四棱锥，就可以排除选项，得到答案．

解答： 解：因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等， 所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等， 故A，C正确，

且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，

故D正确，B不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立． 故选B

点评：本题考查学生的空间想象能力，对棱锥的结构认识，是基础题．

4．已知a、b是异面直线，P是空间一定点，下列命题中正确的个数为( ) ①过P点总可以作一条直线与a、b都垂直 ②过P点总可以作一条直线与a、b都垂直相交

③过P点总可以作一条直线与a、b之一垂直与另一条平行 ④过P点总可以作一个平面与a、b同时垂直

⑤过P点总可以作一个平面与a、b之一垂直与另一条平行． A．0 B．1 C．2 D．3

考点：命题的真假判断与应用． 专题：综合题；简易逻辑．

分析：根据异面直线的定义，对各选项进行判断，即可得出结论．

解答： 解：①若此点与直线a确定一平面β，所有与β平面垂直的直线都分别与a、b垂直，故正确；

②若此点与直线a确定一平面β恰好与直线b平行，过P点不可以作一条直线与a、b都垂直相交，故错误；

③异面直线所成角不是90°时，过P点不可以作一条直线与a、b之一垂直与另一条平行，故错误；

④过P点作一个平面与a、b同时垂直，则a，b平行，故错误；

⑤异面直线所成角不是90°时，过P点不可以作一个平面与a、b之一垂直与另一条平行，故错误． 故选：B．

点评：本题考查的知识点是平面的基本性质及推论，熟练掌握空间直线与直线，直线与平面位置关系的定义和几何特征是解答本题的关键．

5．已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组

的解的情况是( )

A．无论k，P1，P2如何，总是无解 B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解 C．存在k，P1，P2，使之恰有两解 D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解