2019高中数学 第2章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法学案 新人教A版选修1-2

2.2.2 反证法

学习目标：1.了解反证法是间接证明的一种基本方法．(重点、易混点)2. 理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．(重点、难点)

[自 主 预 习·探 新 知]

反证法的定义及证题的关键

思考1：反证法的实质是什么？

[提示]反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的．

思考2：有人说反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理，这种说法对吗？为什么？

[提示]反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严密的演绎推理．

[基础自测]

1．思考辨析

(1)反证法属于间接证明问题的方法．

( )

( )

(2) 反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题． (3)反证法的实质是否定结论导出矛盾． ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ 2．“a

【导学号：48662082】

A．a≠b C．a＝b [答案] D

33

3．用反证法证明“如果a＞b，那么a>b ”，假设的内容应是________． [答案]

3

B．a>b D．a＝b或a>b

a≤b

3

4．应用反证法推出矛盾的推导过程中，下列选项中可以作为条件使用的有________．(填序号)

①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．

①②③ [反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的假设(即把“反

1

设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．]

[合 作 探 究·攻 重 难]

用反证法证明否定性命题 已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列．求证：a，b，c不成等差数列.

【导学号：48662083】

[证明] 假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b. ∵a，b，c成等比数列，∴b＝ac，即b＝ac， ∴a＋c＋2ac＝4ac，∴(a－c)＝0，即a＝c. 从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾， 故a，b，c不成等差数列． [规律方法] 1．用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法． 2．用反证法证明数学命题的步骤 2

2

[跟踪训练] 1．设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面

SOB不垂直．

[证明] 假设AC⊥平面SOB，如图 ∵直线SO在平面SOB内， ∴SO⊥AC.

∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AB. ∴SO⊥平面SAB. ∴平面SAB∥底面圆O.

这显然出现矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直．

2

用反证法证明唯一性命题 求证方程2＝3有且只有一个根. 【导学号：48662084】

[证明] ∵2＝3，∴x＝log23，这说明方程2＝3有根．下面用反证法证明方程2＝3的根是唯一的：假设方程2＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，

则2b1＝3,2b2＝3， 两式相除得2b1－b2＝1.

若b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾． 若b1－b2<0，则2b1－b2<1，这也与2b1－b2＝1相矛盾． ∴b1－b2＝0，则b1＝b2.

∴假设不成立，从而原命题得证． [规律方法] 巧用反证法证明唯一性命题 当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明. 用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立. 证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性. [跟踪训练] 2．求证：两条相交直线有且只有一个交点．

[证明] 假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不止一个交点． 若直线a，b无交点，则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾．

若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．

综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．

xxxxx 用反证法证明“至多”“至少”问题 [探究问题] 1．你能阐述一下“至少有一个、至多有一个、至少有n个”等量词的含义吗？ 提示：

量词 至少有一个 至多有一个 含义 有n个，其中n≥1 有0或1个 3

至少有n个 大于等于n个 2.在反证法证明中，你能说出 “至少有一个、至多有一个、至少有n个”等量词的反设词吗？

提示：

量词 至少有一个 至多有一个 至少有n个 2反设词 一个也没有 至少有两个 至多有n－1个 222 已知a≥－1，求证三个方程：x＋4ax－4a＋3＝0，x＋(a－1)x＋a＝0，x＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数解．

[证明] 假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：

a2－－4a＋??22

－4a<0，?a－

??a2＋4×2a<0

，

??3??1

a>或a<－1，?－

231－

这与已知a≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解． 母题探究：1.(变条件)将本题改为：已知下列三个方程x＋4ax－4a＋3＝0，x＋(a－1)x＋a＝0，x＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数根，如何求实数a的取值范围？ [解] 若方程没有一个有实根， 22216a－－4a，??22－4a<0，则?a－??4a2＋8a<0，2 ??3解得?1a>或a<－1，即－