2021高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何第5讲椭圆课时作业（含解析）北师大版

π

(1)若直线l1的倾斜角为，求|AB|的值；

4(2)设直线AM交直线l于点N，证明：直线BN⊥l. 解 由题意知，F(1,0)，E(5,0)，M(3,0)． π

(1)∵直线l1的倾斜角为，∴斜率k＝1.

4∴直线l1的方程为y＝x－1.

代入椭圆方程，可得9x－10x－15＝0.

105

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－.

93∴|AB|＝2·(x1＋x2)－4x1x1 ＝2×

22

?10?2＋4×5＝165. ?9?39??

2

2

2

2

(2)证明：设直线l1的方程为y＝k(x－1)． 代入椭圆方程，得(4＋5k)x－10kx＋5k－20＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 10k5k－20

则x1＋x2＝2，x1x2＝2.

4＋5k4＋5k设N(5，y0)，∵A，M，N三点共线， ∴

－y1y02y1＝，∴y0＝. 3－x12x1－3

2y12k(x1－1)

－y2＝－k(x2－1) x1－3x1－3

2

2

而y0－y2＝＝

3k(x1＋x2)－kx1x2－5k x1－3

2

2

10k5k－203k·2－k·2－5k4＋5k4＋5k＝＝0.

x1－3∴直线BN∥x轴，即直线BN⊥l.

x2y2

19．(2019·广东广州联考)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的焦距为26，且过点A(2,1)．

ab(1)求椭圆C的方程；

(2)若不经过点A的直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于P，Q两点，且直线AP与直线AQ的斜率之和为0，证明：直线PQ的斜率为定值．

解 (1)因为椭圆C的焦距为26，且过点A(2,1)， 41

所以2＋2＝1,2c＝26.

ab又因为a＝b＋c，由以上三式解得a＝8，b＝2， 所以椭圆C的方程为＋＝1.

82

(2)证明：设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1≠x2≠2， 则y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m.

22222

x2y2

y＝kx＋m，??22由?xy＋＝1，??82

2

2

消去y并整理，得

(4k＋1)x＋8kmx＋4m－8＝0， －8km4m－8则x1＋x2＝2，x1x2＝2.

4k＋14k＋1因为kAP＋kAQ＝0，所以2

2

y1－1y2－1

＝－， x1－2x2－2

化简得x1y2＋x2y1－(x1＋x2)－2(y1＋y2)＋4＝0. 即2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4m＋4＝0. 2k(4m－8)8km(m－1－2k)

所以－－4m＋4＝0， 22

4k＋14k＋1整理得(2k－1)(m＋2k－1)＝0. 因为直线l不经过点A， 1所以2k＋m－1≠0，所以k＝.

21

所以直线PQ的斜率为定值，该值为. 2

2

x2y2

20．(2019·天津高考)设椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的

ab短轴长为4，离心率为

5. 5

(1)求椭圆的方程；

(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在

y轴的负半轴上，若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．

解 (1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，＝＝2，c＝1.

所以，椭圆的方程为＋＝1.

54

(2)由题意，设P(xP，yP)(xP≠0)，M(xM,0)，直线PB的斜率为k(k≠0)，

ca5222

，又a＝b＋c，可得a＝5，b5

x2y2

y＝kx＋2，??22

因为B(0,2)，则直线PB的方程为y＝kx＋2，与椭圆方程联立，得?xy＋＝1，??54

整理得(4＋5k)x＋20kx＝0， 20k可得xP＝－2，

4＋5k8－10k代入y＝kx＋2得yP＝2，

4＋5k2

2

2

yP4－5k2

进而直线OP的斜率为＝. xP－10k2

在y＝kx＋2中，令y＝0，得xM＝－.

k由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－.

24－5k?k?由OP⊥MN，得·?－?＝－1，

－10k?2?242

化简得k＝，

5230

从而k＝±. 5

230230

所以直线PB的斜率为或－.

55

2

k