专题19 正弦定理和余弦定理及解三角形-2016年高考理数热点题型和提分秘籍（原卷版）

【高频考点解读】

1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；

2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 【热点题型】

题型一 正、余弦定理的简单运用

【例1】 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c. (1)若a＝23，b＝6，A＝45°，则c＝________． (2)若(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，则B＝________． 【提分秘籍】

(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．

【举一反三】

(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c＝2a＋2b＋ab，则△ABC是( ) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形

2

2

2

a＋b＋c(2)在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则＝________．

sin A＋sin B＋sin C题型二 正、余弦定理的综合运用

【例2】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝3，cos A＝(1)求b的值； (2)求△ABC的面积． 【提分秘籍】

有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化；(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等．

【举一反三】

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8.

6π，B＝A＋. 32

5

(1)若a＝2，b＝，求cos C的值；

2

92B2A(2)若sin Acos＋sin Bcos＝2sin C，且△ABC的面积S＝sin C，求a和b的值．

222题型三 正、余弦定理在实际问题中的应用

【例3】 如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(3－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船．此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：6≈2.449)．

【提分秘籍】

解三角形应用题的两种情形：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．

【举一反三】

如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，

C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝

________m.

【高考风向标】

【2015高考上海，理14】在锐角三角形??C中，tan??1，D为边?C上的点，???D与??CD2的面积分别为2和4．过D作D????于?，DF??C于F，则D??DF? ．

【2015高考广东，理11】设?ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a?3， sinB?1，2C?π，则b? . 6xπ【2015高考湖北，理12】函数f(x)?4cos2cos(?x)?2sinx?|ln(x?1)|的零点个数为 ．

22【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD? m.

【2015高考重庆，理13】在ABC中，B=120o，AB=2，A的角平分线AD=3,则AC=_______. 【2015高考福建，理12】若锐角?ABC的面积为103 ，且AB?5,AC?8 ，则BC 等于________． 【2015高考新课标2，理17】（本题满分12分）

?ABC中，D是BC上的点，AD平分?BAC，?ABD面积是?ADC面积的2倍．

(Ⅰ) 求

sin?B；

sin?C(Ⅱ)若AD?1，DC?2，求BD和AC的长． 2(Ⅰ)

1；(Ⅱ)1． 2【2015高考浙江，理16】在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A??4，

b2?a2=

12c. 2（1）求tanC的值；

（2）若?ABC的面积为7，求b的值. 【2015高考安徽，理16】在?ABC中，A?求AD的长.

3?,AB?6,AC?32,点D在BC边上，AD?BD，4