6 第6讲 利用导数研究函数零点问题

所以函数f(x)有“倒数点”且只有一个“倒数点”． (2)xf(x)≤m[g(x)－x]等价于2x·ln x≤m(x2－1)， 1

x－?，x≥1. 设d(x)＝2ln x－m??x?－mx2＋2x－m

则d′(x)＝，x≥1，

x2易知－mx2＋2x－m＝0的判别式为Δ＝4－4 m2.

①当m≥1时，d′(x)≤0，d(x)在[1，＋∞)上单调递减，d(x)≤d(1)＝0，符合题意； ②当0＜m＜1时，方程－mx2＋2x－m＝0有两个正根且0＜x1＜1＜x2，则函数d(x)在(1，x2)上单调递增，此时d(x)＞d(1)＝0，不合题意；

③当m＝0时，d′(x)＞0，d(x)在(1，＋∞)上单调递增，此时d(x)＞d(1)＝0，不合题意； ④当－1＜m＜0时，方程－mx2＋2x－m＝0有两个负根，d(x)在(1，＋∞)上单调递增，此时d(x)＞d(1)＝0，不合题意；

⑤当m≤－1时，d′(x)≥0，d(x)在(1，＋∞)上单调递增，此时d(x)＞d(1)＝0，不合题意． 综上，实数m的取值范围是[1，＋∞)．

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