篮球比赛问题模型

篮球比赛问题模型

刘珺1 王丽华2 刘海景3

(1.韶关学院2005级计算机系软件(2)班,广东韶关,512005; 2.韶关学院2003级数学系数学与应用数学班,广东韶关,512005; 3.韶关学院2004级数学系数学与应用数学班,广东韶关,512005)

摘 要

篮球比赛中,赢得比赛与否往往能在赛后的技术统计中找到直接的关系.本文通过对2个小组12支球队的技术指标分类统计,计算各队在各组的排名,从而得出各指标对球队的贡献顺序依次为罚球命中率、防守篮板、两分命中率、犯规、失误、三分命中率、抢断、进攻篮板、助攻和盖帽.由此引入秩和比(RSR)法处理不同组之间的数据,并根据实力指数进行综合排名,最终名次为信电学院、数学学院、物理学院、机电学院、管理学院、化学学院、测绘学院、能源学院、计算机学院、资源学院、生物学院和地质学院,并对各队给出相应建议以提高其水平.

关键词: 指标、排名、秩和比(RSR)法、实力指数.

1 问题的提出

某大学有12个学院,每个学院派出一支男子篮球队参加校内篮球比赛.首先进行分组赛,共分两组,每组6支代表队;小组赛结束后,每组选出两支代表队参加第二阶段的决赛.附表1和附表2分别为第一组和第二组的比赛结果.要求根据这些数据,研究各个代表队的下列问题:

(1)每支代表队的技术指标与该队的成绩之间的关联关系.

(2)按照技术指标对代表队成绩贡献的大小,将这些技术指标进行排序. (3)找出对代表队成绩起重要作用的关键比赛场次.

(4)根据这两个小组赛的成绩,预测哪支代表队最有可能夺冠,并将这12支代表队的名次进行排序.

(5)对每支代表队给出几点技术方面的改进建议,以提升该队的竞技水平.

2 模型的假设

2.1 比赛规则采取现行的篮球比赛规则[1],但取消2次技术犯规下场的规则,

并规定球员累计犯规5次即判罚其下场;

2.2 比赛中的事件(裁判误判、球员冲突等各类突发状况)对球员情绪、心态和技术的发

挥没有影响;比赛都不存在“垃圾时间” ,或者是球员每秒钟都全力以赴;比赛在法定时间内结束(每队的出场总时间都相同),比赛指标数据能体现队伍的真实技术和水平(即两支球队交战时,实力差别越大,强队获胜的可能性就越大、指标越出色);球员身高、体重和体能等因素对数据无影响或影响不大可忽略不计;球员不出现伤病、停赛的情况并且能正常的发挥,裁判能正确的执法;

2.3 根据附件数据,假定队伍中的4-8号球员为队伍的主力球员,其余9-15号球员为替

补球员;

2.4 球队在决出小组前两名后,共四支球队争夺冠军,其余八支球队间没有进行任何比

赛,即不存在两个小组第三名争夺第五名的情况等.

3 符号的约定

M1k(k?1?6) 表示第一小组的球队，分别为数学学院、物理学院、化学学院、生物

学院、计算机学院和资源学院;

M2k(k?1?6) 表示第二小组的球队,分别为机电学院、信电学院、测绘学院、管理

学院、能源学院和地质学院;

Rij 第i队第j指标的秩次;

i＝1,2,??,12 各球队的序号,分别为数学学院、物理学院、化学学院、生物学院、

计算机学院、资源学院、机电学院、信电学院、测绘学院、管理学院、能源学院和地质学院;

j＝1,2,??,10 评价指标,分别为两分球命中率、三分球命中率、罚球命中率、进

攻篮板、防守篮板、助攻、抢断、盖帽、犯规和失误;

Wj 各指标所占的权重系数.

计算排名的符号下文中逐步引出.

4 问题的分析

篮球比赛的技术指标可分为进攻型指标,包括两分命中、三分命中、罚球命中、进攻篮板、助攻和抢断,这些共同决定着球队的进攻能力;防守型指标,包括防守篮板、盖帽、犯规和失误,这些又共同决定着球队的防守能力.又由于两个小组的队伍间并未有任何直接的交锋,因此在考虑总排名时不能只看各队在各自小组的成绩.因此我们引进了实力指数,其中:

实力指数=进攻RSR?进攻权重?防守RSR?防守权重 进攻RSR=防守RSR=

?各指标?权重系数 ?各指标?权重系数

5 模型的建立和求解

5.1 对问题一的解答

根据附表一、二，统计出各队的比赛数据(见附录表一、二).由附录表一、表二分析可知,球队的成绩与两分球命中率、三分球命中率、罚球命中率、进攻和防守篮板、助攻、抢断、盖帽、犯规和失误有关,且两分球命中率、三分球命中率、罚球命中率越高,进攻和防守篮板、助攻、抢断、盖帽的次数越多,相对的犯规和失误的次数越少,球队的成绩越好.

5.2 模型二的建立与求解

为求指标与成绩之间的关系,先计算各小组的排名.

由比赛名次模型[2],画出如下两个竞赛图(有向完全图).

数学 物理 机电 信电 化学 生物 测绘 管理 计算机 资源 能源 地质 第一小组相互战绩 第二小组相互战绩

图三 各小组的相互战绩图

(1)第一小组的排名

定义竞赛图的邻接矩阵A?(aij)6?6如下:

i 到j 的有向边?1 ，存在从顶点aij??

0 ， 不存在从顶点i 到j 的有向边?根据图3,故有

?0 1 1 1 1 1??0 0 0 1 1 1????0 1 0 1 1 0?A???

0 0 0 0 1 1???0 0 0 0 0 1?????0 0 1 0 0 0?? 记顶点的得分向量为s?(s1,s2,?,sn)T,其中si是球队i的得分. 则 s?A1 , 1?(1,1,1,1,1,1)T 继续计算可得 s(2)?As(1)

??

s(k)?As(k?1)?Ak1 k?1,2,?

利用Perron?Frobenius定理,素阵A的最大特征根为正单根?,?对应正特征向量