2017_18学年高中数学第一章解三角形1.1.1正弦定理一学案

1.1.1 正弦定理(一)

[学习目标] 1.通过对任意三角形边角关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．

[知识链接]

下列说法中，正确的有________．

(1)在直角三角形中，若C为直角，则sin A＝. (2)在△ABC中，若a＞b，则A＞B. (3)在△ABC中，C＝π－A－B.

(4)利用AAS、SSA都可以证明三角形全等． (5)在△ABC中，若sin B＝答案 (1)(2)(3)

解析 根据三角函数的定义，(1)正确；在三角形中，大边对大角，大角对大边，(2)正确；三角形的内角和为π，(3)正确；AAS可以证明三角形全等，SSA不能证明，(4)不正确；若sin B＝2π3π

，则B＝或，(5)不正确，故(1)(2)(3)正确． 244

2π

，则B＝. 24

ac[预习导引]

1．在Rt△ABC中的有关定理 在Rt△ABC中，C＝90°，则有：

(1)A＋B＝90°，0°

(3)＝c；＝c；＝c. sin Asin Bsin C2．正弦定理

在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即＝＝，这个比

sin Asin Bsin C值是其外接圆的直径2R. 3．解三角形

一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．

2

2

2

abcabc

要点一 正弦定理的推导与证明

例1 在锐角△ABC中，证明：＝＝.

sin Asin Bsin C证明 如图，在锐角△ABC中，过点C作CD⊥AB于点D，有＝sin A，＝sin B.

abcCDbCDa

∴CD＝bsin A＝asin B．∴

＝. sin Asin Bab同理，＝.∴＝＝成立．

sin Bsin Csin Asin Bsin C规律方法 从正弦定理可以推出它的常用变形有： (1)＝，＝，＝. sin Asin Bsin Bsin Csin Asin C(2)＝

bcabcabbcacasin Aasin Absin B，＝，＝.

bsin Bcsin Ccsin C(3)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B. (4)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.

跟踪演练1 在钝角△ABC中，如何证明＝＝仍然成立？

sin Asin Bsin C证明 如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，则

abcCD＝sin A，即CD＝bsin A； bCD＝sin(180°－B)＝sin B， a即CD＝asin B.

因此bsin A＝asin B，即＝.

sin Asin B同理可证，＝.因此＝＝.

sin Bsin Csin Asin Bsin C要点二 已知两角及一边解三角形

例2 已知△ABC，根据下列条件，解三角形： (1)a＝20，A＝30°，C＝45°；

abbcabc

(2)a＝8，B＝60°，C＝75°.

解 (1)∵A＝30°，C＝45°；∴B＝180°－(A＋C)＝105°， 由正弦定理得b＝

asin B20sin 105°

＝＝40sin(45°＋60°) sin Asin 30°

＝10(6＋2)；

asin C20sin 45°

c＝＝＝202，

sin Asin 30°

∴B＝105°，b＝10(6＋2)，c＝202.

(2)A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°， 由正弦定理＝，

sin Bsin A得b＝

baasin B8×sin 60°

＝＝46， sin Asin 45°

ac由正弦定理＝，

sin Asin C8×

2＋6422

得c＝

asin C8×sin 75°

＝＝sin Asin 45°

＝4(3＋1)．

∴A＝45°，b＝46，c＝4(3＋1)．

规律方法 已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是：

(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．

(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．

跟踪演练2 在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求边c. 解 由三角形内角和定理知A＋B＋C＝180°，

所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°. 由正弦定理＝，

sin Asin Csin Csin 105°sin60°＋45°

得c＝a·＝5·＝5· sin Asin 30°sin 30°sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°5

＝5·＝(6＋2)．

sin 30°2要点三 已知两边及一边的对角解三角形 例3 在△ABC中，分别根据下列条件解三角形： (1)a＝1，b＝3，A＝30°；

ac

(2)a＝3，b＝1，B＝120°. 解 (1)根据正弦定理，sin B＝

bsin A3sin 30°3

＝＝. a12

∵b>a，∴B>A＝30°，∴B＝60°或120°.

当B＝60°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋60°)＝90°， ∴c＝

bsin C3

＝＝2； sin Bsin 60°

当B＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋120°)＝30°＝A，∴c＝a＝1. (2)根据正弦定理，sin A＝

asin B3sin 120°3

＝＝>1. b12

因为sin A≤1.所以A不存在，即无解．

规律方法 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法： (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．

(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．

(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．

跟踪演练3 已知△ABC，根据下列条件，解三角形： π

(1)a＝2，c＝6，C＝；

3π

(2)a＝2，c＝6，A＝.

4

解 (1)∵＝，∴sin A＝

sin Asin Cπ

∵c>a，∴C>A.∴A＝. 4

5π

6·sin 125πcsin B∴B＝，b＝＝＝3＋1.

12sin Cπ

sin

3(2)∵＝，∴sin C＝

sin Asin Cπ2π

又∵a

π5πasin B当C＝时，B＝，b＝＝3＋1.

312sin Aacasin C2

＝. c2

accsin A3＝. a2