角平分线辅助线.拔高(2013-2014)-教师版

故?AFE≌?AFC，从而AE?AC，EF?FC． 而CM?MB，故MF是?CBE的中位线， 从而MF?

【练2】如图，已知在?ABC中，?ABC?3?C，?1??2，BE?AE．求证：AC?AB?2BE．

A12EBC111BE??AE?AB???AC?AB?． 222

【答案】延长BE交AC于M．

∵AE?BE，?1??2

∴?3??4，AB?AM，BE?EM ∴AC?AB?AC?AM?MC，BM?2BE 又∵?3??4??5??C，?ABC??3??5?3?C ∴?5??C??5?3?C ∴?5??C ∴MB?MC ∴AC?AB?2BE．

【练3】如图，在?ABC中，AB?AC，BD、AM分别是?ABC、?BAC的平分线，DN?BC，GF?BD．

求证：MN?1BF． 4GADBA13245ECMBMNFC

【答案】如图，作DH∥BC，交AB于H，交AM于R．

∵?ABC为等腰三角形，且AM平分?BAC ∴M为BC中点，且AM?BC ∵BD平分?ABC，且GF?BD

∴?FGB为等腰三角形，且D为FG的中点 又∵HD∥BF

1BF，且R为HD中点，即HD?2RD 2可以发现四边形RMND为矩形，于是RD?MN

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11∴MN?RD?HD?BF

24

【例2】 在△ABC中，AB?3AC，?BAC的平分线交BC于D，过B作BE?AD，E为垂足，

求证：AD?DE．

ACDBAE

【答案】延长AC交BE的延长线于F，

过E作EG∥BC交CF于G， 容易证得AF?AB?3AC， 且E为BF 之中点， 故易得AC?CG?GF．

BEDCGF

【练1】如图所示，在?ABC中，AD是?BAC的平分线，M是BC的中点，ME?AD且交AC的延长线

1于E，CE?CD，求证?ACB?2?B．

2AMBDCE

【答案】如图所示，延长CE到P，使EP?CE，连接DP、BP．

因为CD?2CE，故CD?CP，则?CDP??CPD． 因为?ACB??CDP??CPD，故?ACB?2?CPD． 因为BM?MC，CE?EP，故ME∥BP． 因为AD?ME，故AD?BP． 因为AD平分?BAP，故AB?AP．

B 在?ABD和?APD中，AB?AP，?BAD??PAD，AD?AD，

MDCEPA故?ABD≌?APD，从而?ABD??APD，因此?ACB?2?ABC．

【点评】实质上，本题还是利用了“见到角平分线，考虑对称图形”的思想．

【练2】如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD?BE，垂足为D．求证：?2??1??C．

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A1ED2CBA1ED2

【答案】如图，延长AD交BC于F于．

因为?ABD??FBD，BD?BD，?ADB??FDB?90?， 所以Rt△ABD≌Rt△FBD． 于是?2??DFB． 因为?DFB??1??C， 所以?2??1??C．

CFB

【练3】如图，已知?ABC，?1??2，AB?2AC，AD?BD．求证：DC?AC．

A12CDB【答案】解法一：如图，取AB的中点E，连接CE、DE．

∵AE?BE，AD?BD， ∴DE?AB．

∵?1??2，AE?AC，AD公共， ∴?AED≌?ACD． ∴?ACD??AED?90?． ∴DC?AC．

解法二：如图，延长AC到F，使AC?CF，AF?2AC． ∵?1??2，AB?2AC?AF，AD公共， ∴?ADB≌?ADF，BD?DF． ∵BD?AD， ∴DF?AD，

∴DC是等腰三角形ADF底边上的中线， ∴DC?AC．

解法四：如图，取AB、AD的中点E、G， 连接EG、GC，∴EG∥BD，故?AEG??ABD． ∵AD?BD， ∴?ABD??1， ∴?AEG??1， ∴AG?EG．

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A12EDBC

A12GECDBA12GFECDB初三数学.几何模块突破数.角平分拔高.教师版

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∵AE?1AB，AB?2AC， 2∴AE?AC．而?1??2，AG公共， ∴?AEG≌?ACG．

∴EG?GC?AG，GC?AG?GD， ∴?ADC是直角三角形．∴DC?AC．

【例3】 如图，在?ABC中，AB?3AC，?A的平分线交BC于D，过B作BE?AD，垂足为E，

求证：AD?DE．

CEDAB

【答案】解法一（角分线加中位线）：如图，延长AC、BE交于F． ∵?1??2，AE?BF， ∴AF?AB，CF?2AC． 过E作EH∥AF，交BC于H，

1则EH?CF?AC，?1??DEH，?ACD??EHD．

2∴?ACD≌?EHD，∴AD?DE．

EC12ADHBF解法二（角分线加中位线）：如图，延长AC、BE 交于G，过E作EH∥BC交AG于H． ∵?1??2，AE?BG，

∴AG?AB?3AC，BE?GE．故有HC?HG． ∵CG?AB?AC?2AC，∴HC?AC． ∵DC∥HE，∴AD?DE．

解法三（直角三角形斜边中线）：如图，取AB的中点G， 连接EG交BC于F，则EG是Rt?ABE斜边上的中线． ∴AG?EG，?2??AEG??1．

113∴EG∥AC．故BF?CF，EG?AC，EG?AB?AC，

2221有FG?EG，故F是?ABE的重心．

3∴BD为AE的中线，故AD?DE．

GHEC12ABDEC12AGBDF解法四（角平分线定理与面积比例）：如图，延长BE、AC交于F． ∵?1??2，AE?BF， ∴AF?AB．∴S?ABF?2S?ABE．

111而AC?AB?AF，∴S?ABC?S?ABF．

333BDAB3??3，BD?3DC?BC， ∵AD平分?BAC，∴

CDAC4311∴S?ABD?S?ABC?S?ABF?S?ABE．

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