(浙江专用)2020版高考数学大二轮复习专题四小题考法课二圆锥曲线的方程与性质课时跟踪检测

?x＝4y，3

直线AB的方程为y＝x＋1，即x＝3(y－1)．由?

3?x＝3?y－1?，

2

消去x得3(y－1)＝

2

1022

4y，即3y－10y＋3＝0，Δ＝(－10)－4×3×3>0，y1＋y2＝，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝(y1＋

316

1)＋(y2＋1)＝y1＋y2＋2＝.

3

16答案：

3

y2

12．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x－2＝1(b>0)经过点(3,4)，

b2

则该双曲线的渐近线方程是________．

y216

解析：因为双曲线x－2＝1(b>0)经过点(3,4)，所以9－2＝1(b>0)，解得b＝2，即

bb2

双曲线方程为x－＝1，其渐近线方程为y＝±2x.

2

答案：y＝±2x

13．已知椭圆C：＋y＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0<＋y0<1，则|PF1|＋

22|PF2|的取值范围是________．

解析：由点P(x0，y0)满足0<＋y0<1，可知P(x0，y0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为

2

2

y2

x2

2

x20

2

x20

2

a＝2，b＝1，所以由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|<2a＝22，又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|＝2，

故|PF1|＋|PF2|的取值范围是[2,22)．

答案：[2,22)

14．已知点A(4,4)在抛物线y＝2px(p>0)上，F为抛物线的焦点，过A作该抛物线准线的垂线，垂足为E，则p＝________，∠EAF的角平分线所在的直线方程为________．

解析：把A(4,4)代入抛物线方程，得p＝2.由抛物线的性质得|AE|＝|AF|，连接EF，则△EAF为等腰三角形．设EF的中点为B，则直线AB为∠EAF的角平分线所在的直线．由F(1,0)，

2

E(－1,4)，得B(0,2)，则kAB＝

4－211

＝，则直线AB的方程为y＝x＋2，故∠EAF的角平分线4－022

所在的直线方程为x－2y＋4＝0.

答案：2 x－2y＋4＝0

15．已知椭圆的方程为＋＝1，过椭圆中心的直线交椭圆于A，B两点，F2是椭圆的右94焦点，则△ABF2的周长的最小值为________，△ABF2的面积的最大值为________．

解析：设F1是椭圆的左焦点．如图，连接AF1.由椭圆的对称性，

x2y2

- 5 -

结合椭圆的定义知|AF2|＋|BF2|＝2a＝6，所以要使△ABF2的周长最小，必有|AB|＝2b＝4，所1

以△ABF2的周长的最小值为10.S△ABF2＝S△AF1F2＝×2c×|yA|＝5|yA|≤25，所以△ABF2

2面积的最大值为25.

答案：10 25

x2y2

16．(2019·浙江十校联考)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，

ab过F2(1,0)且斜率为1的直线交椭圆于A，B，若三角形F1AB的面积等于2b，则该椭圆的离心率为________．

解析：设椭圆的焦距为2c，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得直线AB的方程为y＝x－1，与椭圆方程联立，消去x化简得(a＋b)y＋2by＋b－ab＝0，由根与系数的关系得，y1＋y2－2bb－ab1＝22，y1·y2＝22，则△F1AB的面积为×2c|y1－y2|＝a＋ba＋b2

2

2

22

2

2

2

2

2

22

2

2b?4?b－ab??－

?a2＋b2?2－a2＋b2＝2??

2222

b2，化简得－2a2＋2a4＋2a2b2＝b2(a2＋b2)2，又因为b2＝a2－1，所以4a4－8a2＋1＝0，解得a＝

1＋3c，则椭圆的离心率e＝＝3－1. 2a答案：3－1

y2

17.如图，已知F1，F2分别是双曲线x－2＝1(b＞0)的左、右焦

b2

点，过点F1的直线与圆x＋y＝1相切于点T，与双曲线的左、右两支分别交于A，B，若|F2B|＝|AB|，则b的值是________．

解析：法一：因为|F2B|＝|AB|，所以结合双曲线的定义，得|AF1|

＝|BF1|－|AB|＝|BF1|－|BF2|＝2，连接OT，在Rt△OTF1中，|OT|＝1，|OF1|＝c，|TF1|＝b，

22

b1?b1?所以cos∠F2F1A＝，sin∠F2F1A＝，所以A?－c＋2×，2×?，将点A的坐标代入双曲线得

cc?

cc?

(－c2＋2b)2

c2－

4

4

3

cb22＝1，化简得b－4b＋5b－4b－4＝0，得(b－2b－2)(b－2b＋3b－2b＋

2

2

2

2

2

2

65432432

2)＝0，而b－2b＋3b－2b＋2＝b(b－1)＋b＋1＋(b－1)＞0，故b－2b－2＝0，解得b＝1±3(负值舍去)，即b＝1＋3.

法二：因为|F2B|＝|AB|，所以结合双曲线的定义，得|AF1|＝|BF1|－|AB|＝|BF1|－|BF2|＝2，连接AF2，则|AF2|＝2＋|AF1|＝4.连接OT，在Rt△OTF1中，|OT|＝1，|OF1|＝c，|TF1|

222

b|F1F2|＋|AF1|－|AF2|

＝b，所以cos∠F2F1A＝.在△AF1F2中，由余弦定理得，cos∠F2F1A＝＝c2|F1F2|·|AF1|

c2－32222

，所以c－3＝2b，又在双曲线中，c＝1＋b，所以b－2b－2＝0，解得b＝1±3(负值2c舍去)，即b＝1＋3.

- 6 -

答案：1＋3

[B级——能力小题保分练]

x2y2

1．双曲线2－2＝1(a，b>0)的离心率为3，左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支

ab上一点，∠F1PF2的角平分线为l，点F1关于l的对称点为Q，|F2Q|＝2，则双曲线的方程为( )

A.－y＝1

2C．x－＝1

3

2

x2

2

B．x－＝1

2D.－y＝1 3

2

y2

y2x2

2

解析：选B ∵∠F1PF2的角平分线为l，点F1关于l的对称点为Q，∴|PF1|＝|PQ|，P，

F2，Q三点共线，而|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PQ|－|PF2|＝2a，即|F2Q|＝2＝2a，解得a＝1.又ecy22222

＝＝3，∴c＝3，∴b＝c－a＝2，∴双曲线的方程为x－＝1.故选B. a2

x2y2

2.过椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆Cab11

于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若

32离心率的取值范围是( )

?13?A.?，? ?44??12?C.?，? ?23?

?2?B.?，1? ?3??1?D.?0，? ?2?

22

a2－c2|BF|a－c11

解析：选C 由题图可知，|AF|＝a＋c，|BF|＝，于是k＝＝.又

1a－c11112

所以<<，化简可得<1－e<，从而可得

3a?a＋c?23223

3．(2019·学军中学高考模拟)已知椭圆C：＋y＝1，P(a,0)为x轴上一动点．若存在

4以点P为圆心的圆O，使得椭圆C与圆O有四个不同的公共点，则a的取值范围是________．

解析：因为圆O的圆心在x轴上，则由椭圆和圆的对称性得椭圆C与圆O的四个不同的公共点两两关于x轴对称，设在x轴上方的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋b，与椭圆方程联立消去y化简得(4k＋1)x＋8kbx＋4b－4＝0，由Δ＝64kb－8kb2222

4(4k＋1)(4b－4)＞0，得b＜4k＋1，此时x1＋x2＝－2，则y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2b＝

4k＋1

2

2

2

22

22

x2

2

b?2bb?4kb，则AB的中点坐标为?－2，2?，线段AB的垂直平分线方程为y－2＝－2

4k＋14k＋1?4k＋14k＋1?

- 7 -

2222

4kb?3kb9kb9k?4k＋1?92

x＋2?，令y＝0，得点P的横坐标a＝－2，则a＝2＜?2＜22＝k?4k＋1?4k＋1?4k＋1??4k＋1?1

4＋2

1?

k933，所以－＜a＜. 422

?33?答案：?－，?

?22?

4．已知F为抛物线C：y＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为________．

解析：抛物线C：y＝4x的焦点为F(1,0)， 由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0. 不妨设直线l1的斜率为k，

1

则l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－(x－1)，

2

2

k?y＝4x，?由???y＝k?x－1?

2

消去y，得kx－(2k＋4)x＋k＝0，

2

2222

2k＋44设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝2＝2＋2，

kk由抛物线的定义可知，

44

|AB|＝x1＋x2＋2＝2＋2＋2＝4＋2.

kk同理得|DE|＝4＋4k，

41?12?22

∴|AB|＋|DE|＝4＋2＋4＋4k＝8＋4?2＋k?≥8＋8＝16，当且仅当2＝k，即k＝±1时

2

k?k?

k取等号，

故|AB|＋|DE|的最小值为16. 答案：16

5．已知P为椭圆C：＋＝1上的一个动点，F1，F2是椭圆C的左、右焦点，O为坐标原

4324

点，O到椭圆C在P点处的切线距离为d，若|PF1|·|PF2|＝，则d＝________.

7

解析：法一：因为点P在椭圆上， 所以有|PF1|＋|PF2|＝4， 24

又因为|PF1|·|PF2|＝，

7由余弦定理可得

x2y2

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