第二讲 基本初等函数

第二讲：基本初等函数（学生版）

一、知识和数学思想梳理：

1．指数式和对数式：①根式概念；②分数指数幂；③指数幂的运算性质；④对数概念；⑤对数运算性质；⑥指数和对数的互化关系；

2．指数函数：①指数函数的概念；②指数函数的图象与性质；③指数函数图象变换；④指数函数性质的应用（单调性、指数不等式和方程）；

3．对数函数：①对数函数的概念；②对数函数的图象与性质；③对数函数图象变换；④对数函数性质的应用（单调性、指数不等式和方程）；

4.解指数不等式、指数方程、对数不等式、对数方程，先要化同底，即 ．．．．

ax1?x1?x2(a?1)xxx，a1?a2(a?0,且a?1)?x1?x2 ?a2(a?0,且a?1)???x1?x2(0?a?1)logax1?x1?x2?0(a?1)x， ?loga2(a?0,且a?1)???0?x1?x2(0?a?1)?loga2(a?0且a?1)?x1?x2?0；

xlogax15.要明确区分指数函数、对数函数与指数型函数、对数型函数；

6.反函数：①反函数概念；②互为反函数定义域和值域的关系；③求反函数的步骤；④互为反函数图象的关系；

7.函数应用：①解应用题的基本步骤；②几种常见函数模型（一次型、二次型、指数型（利息计算）、几何模型、物理和生活实际应用型）；

8.学会灵活应用数形结合思想、方程思想、分类讨论思想解决问题。 二、典型示例

（一） 函数定义域和值域 例1．求下列函数的定义域 （1）（2010湖北文）函数y?34341log0.5(4x?3)的定义域为（ ）

34（A）.( ,1) （B）(,∞) （C）（1，+∞） （D）. ( ,1)∪（1，+∞）

(2) 已知f(x?1)的定义域为?2，4?,求f(2x?1)的定义域 例2．求下列各函数的值域

（1）、（2010重庆文数）已知t?0，则函数y?t?4t?1t2的最小值为____________ .

?log3x,x?01（2）（2010湖北文）已知函数f(x)??x，则f(f())?

9?2,x?0（A）.4 （B）.

14 （C）.-4 （D）-

14

（二）求下列函数的增区间

Qq:138002496 a13342871090@126.com

y?log12(x?x?6)

2例3.（1）（三）函数奇偶性

（2）y?x?x?122

例4．1、（2010山东理4）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，则f(-1)=（ ） （A） 3 （B） 1 （C -1 （D） -3 2、（2010江苏卷）设函数f(x)=x(e+ae)(x?R)是偶函数，则实数a=________________ （四）指对数函数

例5．(1)(2010辽宁文）设2a?5b?m，且

1a?1b?2，则m?

x

-x

（A）10 （B）10 （C）20 （D）100

32555，则a，b，c的大小关系是 （）,b?（），c?（）(2)（2010安徽文）设a?5552322（A）a＞c＞b （B）a＞b＞c （C）c＞a＞b （D）b＞c＞a （3）．已知f(x)＝－x＋log2

1－x. 1＋x

11

(1)求f()＋f(－)的值；

2 0052 005

(2)当x∈(－a，a](其中a∈(0,1)，且a为常数)时，f(x)是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．

（五）函数与方程

例6（1）（2010上海文）若x0是方程式 lgx?x?2的解，则x0属于区间 （ ）

（A）（0，1）. （B）（1，1.25）. （C）（1.25，1.75） （D）（1.75，2） （2）（2010浙江文）（9）已知x是函数f(x)=2x+

11?x的一个零点.若x1∈（1，x0），

x2∈（x0，+?），则 （A）f(x1)＜0，f(x2)＜0 （B）f(x1)＜0，f(x2)＞0

（C）f(x1)＞0，f(x2)＜0 （D）f(x1)＞0，f(x2)＞0

(3)（2010天津文）（4）函数f（x）=e?x?2的零点所在的一个区间是 (A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2） （六）函数综合

Qq:138002496 a13342871090@126.com

x例7．（1）已知x满足a2x?a6?ax?2?ax?4( a?0, a?1 ), 函数y＝log1aa2x?log1(ax)

a2的值域为[?18, 0], 求a的值

（2）如图，A，B，C为函数y?log1x的图象

2上的三点，它们的横坐标分别是t, t+2, t+4(t?1). (1)设?ABC的面积为S 求S=f (t) ； (2)判断函数S=f (t)的单调性； (3) 求S=f (t)的最大值.

三、巩固并提高

1．（湖南卷）f(x)＝1?2x的定义域为 ；

2．（江苏卷）函数y?log20.5(4x?3x)的定义域为 ；

3．（2006年广东卷）函数f(x)?3x2?lg(3x?1)的定义域是 ；

1?x4．（2010陕西文）13.已知函数f（x）＝?3x?2,x?1,?2若f（f（0））＝4a，则实数a＝ ；

?x?ax,x?1,5．（2010山东文）(3)函数f?x??log2?3x?1?的值域为（ ）；

A. ?0,??? B. ??0,??? C. ?1,??? D. ??1,??? 6．（2010

天津理数）（16）设函数

f(x)?2?x1，对任意x??2??3,?????Qq:138002496 a13342871090@126.com

，

?x?2f???4mf(x)?f(x?1)?4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是 ； ?m?7．（2010山东理）函数y=2x -x2的图像大致是

8．已知f(x?3)?x2?2x?1，求f(x?3)；

2

9．若y?f(x)?ax?2(a?3)x?1在区间[?2,??)递减，求a取值范围；

10．（2010山东文）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x?0时，f(x)=2x+2x-b（b为常数），则f(?1)() （A）-3 （B）-1 （C）1 (D)3

25（log53），c?log4，则 11.（2010天津文）(6)设a?log54，b?(A)a

?log2x,x?0,?12.（2010天津理）若函数f(x)=?log(?x),x?0,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是

1??2（A）（-1，0）∪（0，1）（B）（-∞，-1）∪（1,+∞）（C）（-1，0）∪（1,+∞）（D）（-∞，-1）∪（0,1） 13.（2010四川理）（3）2log510＋log50.25＝ （A）0 （B）1 （C） 2 （D）4 14.（2010天津理）（2）函数f(x)=2?3x的零点所在的一个区间是 (A)（-2，-1） (B)（-1,0） (C)（0,1） (D)（1,2） ?x2+2x-3,x?0fx)=?15.（2010福建文）7．函数（的零点个数为 ( )

?-2+lnx,x>0x（A）．3 （B）．2 （C）．1 （D）．0

1?x?1?x16．已知函数f(x)＝??2?＋?4?－2.

(1)判断函数f(x)的单调性；(2)求函数的值域；(3)解方程f(x)＝0；(4)解不等式f(x)>0.

?117.已知函数f(x)?2x?1的反函数为f(x), g(x)?log(3x?1).

4(1) 若f?1(x)?g(x)，求x的取值范围D;

12f?1(2) 设函数H(x)?g(x)?(x)，当x?D时, 求函数H(x)的值域.

Qq:138002496 a13342871090@126.com