2020高考理科数学二轮考前复习方略练习：专题六 第5讲 导数与方程 Word版含解析

第5讲 导数与方程

［研考点考向·破重点难点］

破解难点1 判断、证明或讨论函数零点个数

两类零点问题的不同处理方法：利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0.(1)直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明f(a)·f(b)<0；(2)分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)<0.

高考真题 思维方法 (1)f(x)的定义域为(0，1)∪(1，＋∞). 12因为f′(x)＝＋>0，[关键1：正确求出x(x－1)2导函数，研究函数的单调性]所以f(x)在(0，1)，(1，＋∞)单调递增. 【直接法】 (2019·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x－x＋1. x－1(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点； (2)设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y＝ln x在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线y＝ex的切线. e＋1e2＋12因为f(e)＝1－<0，f(e)＝2－2＝e－1e－1e2－3>0，所以f(x)在(1，＋∞)有唯一零点e2－1x1(e

＝ln x＋ax.

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)当a<0时，求函数f(x)的零点个数．

ax＋11

【解】 (1)由题意知，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋a＝. xx①当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 1

②当a<0时，令f′(x)＝0，得x＝－，

a

1

0，－?上，f′(x)>0，f(x)单调递增， 故在?a??1

－，＋∞?上，f′(x)<0，f(x)单调递减． 在??a?

1

0，－?上单调递增，综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，f(x)在?a??1

－，＋∞?上单调递减． 在??a?

11

0，－?上单调递增，在?－，＋∞?上单调递减． (2)由(1)可知，当a<0时，f(x)在?a???a?11

－?＝ln?－?－1. 故f(x)max＝f??a??a?

111

－?<1，即a<－时，f ?－?<0， ①当ln ??a??a?e函数f(x)没有零点．

111

－?＝1时，即a＝－时，f?－?＝0， ②当ln ??a??a?e函数f(x)有一个零点．

111

－?>1，即－0， ③当ln??a??a?e

1

令0

a11

－?<0，f(x)在?b，－?上有一个零点． 故f(b)·f?a??a??1?11?－1?＋1， f?＝ln ＋＝2ln22?a??a?aaa1

令t＝－，则t∈(e，＋∞)．

a令g(t)＝2ln t－t，t>e，

2

则在(e，＋∞)上，g′(t)＝－1<0，故g(t)在(e，＋∞)上单调递减，

t

1??－1?·?12?<0，f(x)在?－1，12?上故在(e，＋∞)上，g(t)

故f(x)在(0，＋∞)上有两个零点．

111

综上，当a<－时，函数f(x)没有零点；当a＝－时，函数f(x)有一个零点；当－

eee