山东省莱西一中2019届高三数学第一次模拟考试试题理

该市高三学生组织了两次体测，其中第一次体测的成绩（满分：100分）的频率分布直方图如下图所示，第二次体测的成绩X:N(65,2.5).

（Ⅰ）试通过计算比较两次体测成绩平均分的高低； （Ⅱ）若该市有高三学生20000人，记体测成绩在70

分以上的同学的身体素质为优秀，假设这20000人都参与了第二次体测，试估计第二次体测中身体素质为优秀的人数；

（Ⅲ）以频率估计概率，若在参与第一次体测的学生中随机抽取4人，记这4人成绩在

2[60,80)的人数为?，求?的分布列及数学期望.

附：P(????X????)?0.6826，P(??2??X???2?)?0.9544，

P(??3??X???3?)?0.9974.

19．（本小题满分12分）

如图所示，四棱锥S?ABCD中， SA?SD?21AD,BC?CD?AB，CD∥AB，22?ABC?90?，二面角S?AD?B的大小为90?.

（Ⅰ）求证：SA?BD； （Ⅱ）在线段SB上找一点E， 使得二面角E?AD?S的大小为45?.

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20．（本小题满分12分）

x2y266)，离心率为已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)过点(1,?. 33ab（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线y?k(x?1)与椭圆C交于P,Q两点，且N(3,2)，设kPN,kQN分别是直线

PN,QN的斜率，试探究kPN?kQN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理

由.

21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?ax?1?(a?1)lnx. x（Ⅰ）当a?0时，判断函数f(x)的单调性；

（Ⅱ）当a??2时，证明：2e?e[f(x)?2x].（e为自然对数的底数）

请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

x52?x?4t?1?在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为?3（t为参数）.以坐标原点O为极

y?3t???2点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为

?2?22?sin(??).

π4 - 6 -

（Ⅰ）求直线l的普通方程以及圆C的直角坐标方程；

（Ⅱ）若点P在直线l上，过点P作圆C的切线PQ，求|PQ|的最小值.

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)?2|x|?|x?3|. （Ⅰ）解关于x的不等式f(x)?4；

（Ⅱ）若对于任意的x?R，不等式f(x)?t2?2t恒成立，求实数t的取值范围.

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高三数学一模模拟测试题（理科）

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