分部积分法2

教学过程 思考题：

1应用分部积分公式?udv?uv??vdu的关键是什么？对于积分?f(x)g(x)dx，一般应按什么样的规律设u和dv？

答：应用分部积分公式的关键是恰当的选择u和dv，对于积分?f(x)g(x)dx，一般应按如下的规律去设u和dv：

（1）由dv易求得v；（2）?vdu应比?udv容易积出.

一、分部积分法

设函数u?u(x),v?v(x)具有连续导数，根据乘积微分公式有

d?uv??udv?vdu,移项得

udv?d(uv)?vdu,两边积分得

?udv?uv??vdu,该公式称为分部积分公式，它可以将求?udv的积分问题转化

为求?vdu 的积分，当后面这个积分较容易求时，分部积分公式就起到了化难为易的作用。

例13 求?xcosxdx.

解 设u?x,dv?cosxdx?d(sinx),于是du?dx,v?sinx,代入公式有

?xcosxdx=?xd?sinx?= xsin?xcosxdx=?xd?sinx?= xsinx??sinxdx x??sinxdx

12x2注：本题若设u?cosx,dv?xdx,则有du??sinxdx及v?到

1212，代入公式后，得

?xcosxdx=

xcosx?2

?xsinxdx,

2新得到积分?x2sinxdx反而比原积分更难，说明这样设u,dv是不合适的，由此可见，运用好分部积分关键是恰u,dv当地选择好u和dv，一般要考虑如下两点：

（1）v要容易求得（可用凑微分法求出）；

1

（2）?vdu要比?udv容易积出。 例14 求?xlnxdx.

?x2?12解 ?xlnxdx=?lnxd??2??=2xlnx????x2?x22d?lnx?

2lnx?12?xdx?x22lnx?14x?C.

2当熟悉分部积分法后，u,dv及v,du可心算完成，不必具体写出．

例15 求?x2exdx.

解 ?x2exdx=?x2d?ex??x2ex??exd?x2?

2x?xe?2?xedx?xe?2?xd?e2xx2xx?xe?2xe??edx?xe?2xe?2e?C?xx?2xxx ??x2?2x?2?ex?C.

?例16 求?exsinxdx.

解 ?exsinxdx??sinxd?ex??exsinx??excosxdx

?esinx?xx?cosxdex??x

x?esinx?ecosx??esinxdx.将再次出现的?exsinxdx移至左端，合并后除以2得所求积分为

?esinxdx?x12e?sinx?cosx??C.x

小结：下述几种类型积分，均可用分部积分公式求解，且u,dv的设法有规律可循．

(1) ?xneaxdx，?xnsinaxdx，?xncosaxdx，可设u?xn； (2) ?xnlnxdx，?xnarcsinxdx，?xnarctanxdx，

可设u?lnx，arcsinx，arctanx；

(3) ?eaxsinbxdx，?eaxcosbxdx，可设u?sinbx，cosbx.

2

说明：（1）常数也视为幂函数．

（2）上述情况xn换成多项式时仍成立．

例17 求?arctanxdx.

解 先换元，令x?t2?t?0?,则dx?2tdt．

当熟悉分部积分法后，u,dv及v,du可心算完成，不必具体写出．

原式=?arctant?2tdt??arctantd?t2?

2 =t2arctant-?t2darctant? t2arctant-?t1?t2dt

=t2arctant-???1?1??1?t2?d

?t=t2arctant?t?arctant?C

?(x?1)arctanx-x ?C.

例18 求?arcsinx?dx.

1?x2?3解 换元，令x?sint，则dx?costdt及t?arcsinx． 原式

??tcos3tcostdt??tdtcos2t??td?tant?

?ttant??tantdt?ttant?lncost?C?arcsinxx?ln1?x2?C.

1?x2例19 用多种方法求?x1?xdx.

解一 分项，凑微分．

?x?1?11?xdx=?x1?xdx??1?xdx??dx1?x.

3

解二 令1?x?u，则dx?du,

?x1?xdx=?u?1du?u?udu??duu.

解三 令1?x=u2,则dx?2udu,

?

x1?xdx=?u?1u22udu?2?u?1du.

2??解四 令x?tan2t，则dx?2tantsec2tdt, ?x1?xdx=?tantsect22tantsectdt?2??sect?1?dsect.

22解五 分部积分

?x1?xdx=?xd21?x=2x1?x?2?1?xdx.

??二、简单有理式的积分

有理分式是指两个多项式之比，即R?x??P?x?Q?x?，这里P(x)与Q(x)不可

约．当Q(x)的次数高于P(x)的次数时，R(x)是真分式，否则R(x)为假分式．利用多项式除法，总可把假分式化为一多项式与真分式之和，例如

x?3x?2x?124?x?2x?5?212x?2x?2x?12,

多项式部分可以逐项积分，因此以下只讨论真分式的积分法。一般真分式的积分方法：（1）将分母Q(x)分解为一次因式（可能有重因式）和二次质因式的乘积（2）把该真分式按分母的因式，分解成若干简单分式（称为部分分式）之和（3）简单分式的积分。

化真分式为部分分式之和举例说明： 分母Q(x)含有单因式x?a时，这时分解式中对应有一项

Ax?a，其中A为待定系数．

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