2019年全国卷Ⅲ理数高考试题文档版(含答案)

?a??a?

(??,0),?,???单调递增，在?0,?单调递减；

?3??3?

若a=0，f(x)在(??,??)单调递增；

若a<0，则当x????,??a??a??时，；当U(0,??)f(x)?0x???,0?时，f?(x)?0．故f(x)在3??3?a???a?单调递增，在??,,(0,??)???,0?单调递减.

3???3?（2）满足题设条件的a，b存在.

（i）当a≤0时，由（1）知，f(x)在[0，1]单调递增，所以f(x)在区间[0，l]的最小值为f(0)=b，最大值为f(1)?2?a?b.此时a，b满足题设条件当且仅当b??1，2?a?b?1，即a=0，b??1． （ii）当a≥3时，由（1）知，f(x)在[0，1]单调递减，所以f(x)在区间[0，1]的最大值为f(0)=b，最小值为f(1)?2?a?b．此时a，b满足题设条件当且仅当2?a?b??1，b=1，即a=4，b=1．

a3?a??b，最大值为b或2?a?b． （iii）当0

12?x . 由于y'?x，所以切线DA的斜率为x1，故1x1?ty1?整理得2 tx1?2 y1+1=0.

设B?x2,y2?，同理可得2tx2?2 y2+1=0. 故直线AB的方程为2tx?2y?1?0.

1所以直线AB过定点(0,).

2（2）由（1）得直线AB的方程为y?tx?1?y?tx???22由?，可得x?2tx?1?0. 2?y?x??21. 2于是x1?x2?2t,x1x2??1,y1?y2?t?x1?x2??1?2t2?1，

|AB|?1?t2x1?x2?1?t2??x1?x2?2?4x1x2?2?t2?1?.

2t?12设d1,d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1?t2?1,d2?因此，四边形ADBE的面积S?1|AB|?d1?d2???t2?3?t2?1. 2. 1??设M为线段AB的中点，则M?t,t2??.

2??uuuuruuuruuuruuuur2由于EM?AB，而EM??t,t?2?，AB与向量(1, t)平行，所以t??t2?2?t?0.解得t=0或

t??1.

当t=0时，S=3；当t??1时，S?42. 因此，四边形ADBE的面积为3或42. ?,CD?所在圆的极坐标方程分别为??2cos?，??2sin?，???2cos?. 22.解：（1）由题设可得，弧?AB,BC所以M1的极坐标方程为??2cos??0?????π?3π??πM??2sin????，的极坐标方程为2???，4?4??4?3π?M3的极坐标方程为???2cos?????π?.

?4?（2）设P(?,?)，由题设及（1）知

ππ，则2cos??3，解得??； 46π3ππ2π若???，则2sin??3，解得??或??； 44333π5π???π，则?2cos??3，解得??若. 46若0???综上，P的极坐标为?3,??π??π??2π??5π?或或或3,3,3,???????. 6??3??3??6?23．解：（1）由于[(x?1)?(y?1)?(z?1)]2

?(x?1)2?(y?1)2?(z?1)2?2[(x?1)(y?1)?(y?1)(z?1)?(z?1)(x?1)]

222??3?(x?1)?(y?1)?(z?1)??，

故由已知得(x?1)?(y?1)?(z?1)?当且仅当x=

2224， 3511，y=–，z??时等号成立． 3334222所以(x?1)?(y?1)?(z?1)的最小值为.

3（2）由于

[(x?2)?(y?1)?(z?a)]2

?(x?2)2?(y?1)2?(z?a)2?2[(x?2)(y?1)?(y?1)(z?a)?(z?a)(x?2)]

222??3?(x?2)?(y?1)?(z?a)??，

(2?a)2故由已知(x?2)?(y?1)?(z?a)?，

3222当且仅当x?24?a1?a2a?2，y?，z?时等号成立． 33322(2?a)2因此(x?2)?(y?1)?(z?a)的最小值为．

3(2?a)21由题设知?，解得a??3或a??1．

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