2019年全国卷Ⅲ理数高考试题文档版(含答案)

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70． （1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． 18．（12分）

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin（1）求B；

（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围． 19．（12分）

Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，BE=BF=2，图1是由矩形ADEB，其中AB=1，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.

（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求图2中的二面角B?CG?A的大小.

A?C?bsinA． 2

20．（12分）

已知函数f(x)?2x?ax?b. （1）讨论f(x)的单调性；

（2）是否存在a,b，使得f(x)在区间[0,1]的最小值为?1且最大值为1？若存在，求出a,b的所有值；若不存在，说明理由.

321x221．已知曲线C：y=，D为直线y=?上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.

22（1）证明：直线AB过定点： （2）若以E(0，

5)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积. 2（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4?4：坐标系与参数方程]（10分）

如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B(2,)，C(2,?4???，CD?所在圆)，D(2,?)，弧?AB，BC4?，曲线M3是弧CD?. 的圆心分别是(1,0)，(1,)，(1,?)，曲线M1是弧?AB，曲线M2是弧BC（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；

（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|??23，求P的极坐标.

23．[选修4?5：不等式选讲]（10分） 设x,y,z?R，且x?y?z?1.

222（1）求(x?1)?(y?1)?(z?1)的最小值；

（2）若(x?2)?(y?1)?(z?a)?

2221成立，证明：a??3或a??1. 32019年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学·参考答案

一、选择题 1．A

2．D

3．C

4．A

5．C

6．D

7．B

8．B

9．C

10．A

11．C

12．D

二、填空题 13．

2 314．4 15．(3,15) 16．118.8

三、解答题

17．解：（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．

b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．

（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05． 乙离子残留百分比的平均值的估计值为

3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00． 18．解：（1）由题设及正弦定理得sinAsinA?C?sinBsinA． 2因为sinA?0，所以sinA?C?sinB． 2A?CBBBB?cos，故cos?2sincos． 22222由A?B?C?180，可得sin?因为cosBB1?0，故sin?，因此B=60°． 2223a． 4（2）由题设及（1）知△ABC的面积S△ABC??csinAsin?120?C?31由正弦定理得a????．

sinCsinC2tanC2由于△ABC为锐角三角形，故0°

1?a?2，2从而

33?S△ABC?． 82因此，△ABC面积的取值范围是??33??8,2??． ??19．解：（1）由已知得ADPBE，CGPBE，所以ADPCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D

四点共面．

由已知得AB?BE，AB?BC，故AB?平面BCGE． 又因为AB?平面ABC，所以平面ABC?平面BCGE．

（2）作EH?BC，垂足为H．因为EH?平面BCGE，平面BCGE?平面ABC，所以EH?平面ABC． 由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH=3．

uuur以H为坐标原点，HC的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H–xyz，

uuuruuur则A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，3），CG=（1，0，3），AC=（2，–1，0）．

设平面ACGD的法向量为n=（x，y，z），则

uuur??x?3z?0,?CG?n?0,?即 uuur????2x?y?0.?AC?n?0,?所以可取n=（3，6，–3）．

又平面BCGE的法向量可取为m=（0，1，0），所以cos?n,m??因此二面角B–CG–A的大小为30°． 20. 解：（1）f?(x)?6x?2ax?2x(3x?a)．

令f?(x)?0，得x=0或x?2n?m3． ?|n||m|2a. 3?a??a?,???时，f?(x)?0；当x??0,?时，f?(x)?0．故f(x)在?3??3?若a>0，则当x?(??,0)U?