高三高考数学国步分项分类题及析答案中

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＝2×2×22×2＝3.

10．(文)已知在正方体ABCD－A′B′C′D′中，M、N分别是A′D′、A′B′的中点，在该正方体中是否存在过顶点且与平面AMN平行的平面？若存在，试作出该平面，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

[分析] 假设存在经过B点与平面AMN平行的平面α，则平面A′B′C′D′与这两平行平面的交线应平行，由于M、N分别为A′D′、A′B′的中点，∴取C′D′的中点F，B′C′的中点E，则MN∥EF，可证明平面BDFE∥平面AMN，过其他点的截面同理可分析找出．

[解析] 存在．与平面AMN平行的平面有以下三种情况：

下面以图(1)为例进行证明．

∵四边形ABEM是平行四边形，∴BE∥AM，

又BE?平面BDE，AM?平面BDE，∴AM∥平面BDFE. ∵MN是△A′B′D′的中位线，∴MN∥B′D′，

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∵四边形BDD′B′是平行四边形， ∴BD∥B′D′，∴MN∥BD，

又BD?平面BDE，MN?平面BDE，∴MN∥平面BDFE， 又AM?平面AMN，MN?平面AMN，且AM∩MN＝M， ∴由平面与平面平行的判定定理可得，平面AMN∥平面BDFE. (理)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，若A1C交平面BDEF于点R，试确定点R的位置．

[解析] 如图，在正方体AC1中，∵Q∈A1C1，∴Q∈平面A1C1CA.又Q∈EF，∴Q∈平面BDEF，即Q是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点．同理，P也是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点．∴平面A1C1CA∩平面BDEF＝PQ，又A1C∩平面BDEF＝R，∴R∈A1C，

∴R∈平面A1C1CA，又R∈平面BDEF，∴R∈PQ，

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∴R是A1C与PQ的交点．

能力拓展提升

11.(2012·山西联考)已知直线m、n与平面α、β，下列命题中正确的是( )

A．m∥β，α∥β，则m∥α

B．平面α内不共线三点到平面β的距离相等，则α∥β C．α∩β＝m，n⊥m且α⊥β，则n⊥α D．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n [答案] D

[解析] 当m?α时，也可满足m∥β，α∥β，故①错；

当α∩β＝l，三点A、B、C位于l的两侧，AB∥l，直线AB到l的距离与点C到l的距离相等时，满足A、B、C三点到平面β的距离相等，故②错；

由面面垂直的性质知，C错，因为只有在满足n?β内时，才能由n⊥m得出n⊥α的结论；

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α⊥β?

??n∥α或n?αn⊥β??m⊥n，故D正确．

m⊥α

??

???

12．如图是一正方体的表面展开图，MN和PB是两条面对角线，则在正方体中，直线MN与直线PB的位置关系为( )

A．相交 C．异面 [答案] C

[解析] 将表面展开图折起还原为正方体如图，故MN与PB异面．

B．平行 D．重合