第1讲 向量代数与空间解析几何20140830

第1讲 向量代数和空间解析几何

一. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积 1 向量(矢量):既有大小又有方向的量,如速度、位移等,常表示为a,AB等.

向量通常用有向线段表示:有向线段的长度表示向量的大小(又称为向量的模,记为|a|),有向线段的方向表示向量的方向. 2 向量的线性运算 加（减）法:

c

b

b c a

a

三角形法则

数乘:?a |?a?|?|?|a| | ??R 3 向量的数量积(点积、内积)

平行四连形法则

数量积(点积、内积)：a?b?|a|?|b|cos?，??(a,b) 向量a的模|a|?a?a 向量a与向量b的夹角满足：cos??a?b(0????)

|a||b|a?b?a?b?0

4 向量的向量积(叉积、外积)

向量积a?b的模|a?b|?|a||b|sin?,方向垂直于a和b,且a,b,a?b符合右手法则. 几何意义:

(1) a?b的模|a?b|是以a和b为邻边的平等四边形面积; (2) a?b与一切既平行于a又平行于b的平面垂直.

a//b?a?b?0

5 向量的混合积

混合积[abc]?(a?b)?c?|a?b||c|cos? ?为a?b与c的夹角 几何意义:平行六面体的体积 向量a,b,c共面?[abc]?0

6 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦 向量运算的坐标表示

设a?(ax,ay,az),b?(bx,by,bz),?为实数,则有 加（减）法：a?b?(ax?bx,ay?by,az?bz) 数乘：?a?(?ax,?ay,?az)

axayaz两个非零向量a?(ax,ay,az)与b?(bx,by,bz)平行的充要条件是??(当分母为零时,分子

bxbybz也为零)

向量的模: |a|?ax2?ay2?az2 1

单位向量：

方向角:非零向量a?(ax,ay,az)与三个坐标轴x,y,z正方向的夹角,记为?,?,?. 方向余弦:cos??ayaxa, cos??,cos??z且满足cos2??cos2??cos2??1 |a||a||a|例 已知两点A(3,0,2),B(4,2,1),求向量AB的三个方向角的方向余弦.

设a?(ax,ay,az),b?(bx,by,bz), 数量积：a?b?axbx?ayby?azbz cos??axbx?ayby?azbza?b ?222222|a||b|ax?ay?azbx?by?bzijaybykaz bzaxaybycyazbz

cza?b?axbx?ayby?azbz?0

向量积：a?b?axbx混合积：[abc]?(a?b)?c?bxcx二 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程 曲面方程

在空间直角坐标系中,如果曲面S和三元方程F(x,y,z)?0满足下列条件: (1)曲面S上任一点的坐标都满足F(x,y,z)?0

(2)不在S上的点的坐标都不满足F(x,y,z)?0,即满足F(x,y,z)?0的点(x,y,z)都在S上,称

F(x,y,z)?0是曲面S的方程,曲面S是方程F(x,y,z)?0的图形.

曲线的方程

空间曲面?1:F(x,y,z)?0,?2:G(x,y,z)?0 空间曲线?的一般方程为: ??F(x,y,z)?0

?G(x,y,z)?0特别地,曲面F(x,y,z)?0与三个坐标面的交线方程为

?F(x,y,z)?0?F(x,y,z)?0?F(x,y,z)?0,?,? ??z?0?x?0?y?0?x2?y2?z2?4例如: ?:?表示球心在原点,半径为2的球面与平面z?1的交线,是一个在平面z?1上的

?z?1圆.

1 平面

2

法线:垂直于平面的直线

法向量:垂直于平面的任一非零向量 平面的点法式方程

设平面?经过点M0(x0,y0,z0),n?(A,B,C)是它的一个法向量,M(x,y,z)是平面上任一点,则有

M0M?n?0

即 A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0

例1 已知平面过两点M1(1,2,?1)和M2(3,?1,2),求经过点M1且与直线M1M2垂直的平面方程. 解: 平面的法向量M1M2?(2,?3,3)

平面的方程为2(x?1)?3(y?2)?3(z?1)?0 即:2x?3y?3z?7?0

例2 已知不共线的三点M1(2,?1,?3),M2(?1,3,?2)和M3(0,3,?1),求过这三点的平面方程. 解法1: M1M2?(?3,4,1),M1M3?(?2,4,2)

ijk平面的法向量:n?M1M2?M1M3??341?4i?4j?4k ?242平面方程为4(x?2)?4(y?1)?4(z?3)?0 即:x?y?z?4?0

解法2:设M(x,y,z)为平面上的任一点,则M1M,M1M2,M1M3共面,即

x?2y?1z?3 ?1?23?1?2?3?0,即x?y?z?4?0 0?23?1?1?3从而得

平面的三点式方程

过已知三点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)和M3(x3,y3,z3)的平面方程为

x?x1y?y1z?z1x2?x1y2?y1z2?z1?0 x3?x1y3?y1z3?z1平面的一般方程

在平面的点法式方程中,记D??(Ax0?By0?Cz0),则得平面的一般方程:

Ax?By?Cz?D?0

平面的法向量为n?(A,B,C) (A,B,C不全为零） (1)若D?0,方程为Ax?By?Cz?0,表示过原点的平面. (2)若C?0,方程为Ax?By?D?0,表示平行于z轴的平面. 若B?0,方程为Ax?Cz?D?0,表示平行于y轴的平面.

3

若A?0,方程为By?Cz?D?0,表示平行于x轴的平面. (3)若C?D?0,方程为Ax?By?0,表示过z轴的平面. 若B?D?0,方程为Ax?Cz?0,表示过y轴的平面. 若A?D?0,方程为By?Cz?0,表示过x轴的平面.

(4)若A?B?0,方程为Cz?D?0,表示平行于xOy坐标面的平面. 其它类似.

例3 求经过z轴及点(1,2,?3)的平面方程.

解:设所求平面方程为Ax?By?0,代入点(1,2,?3),整理得2x?y?0. 例4 设平面方程为?:3x?2y?z?5?0,求过原点且与该平面平行的平面方程. 解:所求平面法向量为n?(3,?2,1)且过点(0,0,0) 所求平面方程为:3x?2y?z?0 平面的截距式方程

例5 设平面与x轴,y轴,z轴分别交于三点M1(a,0,0),M2(0,b,0)和M3(0,0,c),其中a,b,c均不为零,求该平面的方程.

解:设平面的一般方程为Ax?By?Cz?D?0,代入三点得

A??DDD,B??,C?? abc所求方程为

xyz???1 abc称之为平面的截距式方程. a,b,c称为平面在x,y,z轴上的截距. 2 直线

?A1x?B1y?C1z?D1?0直线的一般方程L:?,其中A1,B1,C1和A2,B2,C2不成比例.

Ax?By?Cz?D?0?2222直线的参数方程及点向式方程(或对称式方程)

设直线L过点M0(x0,y0,z0)且平行于非零向量s?(m,n,p)

称s?(m,n,p)为L的方向向量,m,n,p称为L的方向数,设M(x,y,z)为直线L上的任一点,则

M0M//s,即(x?x0,y?y0,z?z0)?(tm,tn,tp),整理得

?x?x0?tmx?x0y?y0z?z0???参数方程?y?y0?tn;点向式方程 mnp?z?z?tp0?若分母为零,则分子也为零.

直线的两点式方程

例1 求过点M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)的直线方程. 解: s?M1M2?(x2?x1,y2?y1,z2?z1)

所求直线的方程为

x?x1y?y1z?z1??

x2?x1y2?y1z2?z1 4