圆学案（全章）

如图，连接AD ∵AB是⊙Ｏ的直径 ∴∠ADB= 即AD BC

又∵AC=AB ∴BD=CD 即时练习

5、如图4，已知等腰三角形ABC中，AB=AC,以腰AC为直径作半圆交AB于点E，交BC于点F，若∠A=50°，求弧EF、弧AE、弧FC的度数

三、挖掘教材

推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

6、例题3 如图6，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径 求证：AB2ＡＣ＝ＡＥ2ＡＤ

注意 在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角的性质。 四、反思小结

１、圆周角与圆心角的关系定理及推论的作用是什么？

BEODCAAOEFCB图45、例题2 如图5，△ABC中，D为AB中点，CD等于AB的一半，求证：△ABC为直角三角形

CAD图5B图6２、根据定理及推论，设想一下，在解决圆的有关问题时，常用辅助线有哪些？ 【达标测评】

1、如图7，写出所有相等的角。

2、若⊙Ｏ是△ABC的外接圆，OD⊥BC于D，且∠BOD=48°，则 ∠BAC= 。

3、△ABC是半径为2cm的圆的内接三角形，若BC=2∠A的度数为

AD3cm，则

BC图74、在⊙O中，直径AB=10cm，弦AC=6cm，∠A CB的平分线交⊙O 于D，则BC= Cm，AD= cm，BD= cm。

5、如图8，点D在以AC为直径的⊙O 上，如果∠BDC=20°，那么∠ACB= 。 6、如图9，AB为⊙O 的直径，弦AC=3cm，BC=4cm，CD⊥AB， 垂足为D，求AD、BD和CD的长。

ABOCADODCB图8

7、如图10，OA是⊙O 的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB交于点D，求证：D是AB中点。

【资源链接】

所对的弧的度数的关系。

类似的，如图11（1），当角的顶点在圆外（或圆内），角的两边与圆相交，这样的角叫圆外角（圆内角）。

想一想

（1）∠APB与弧AB、弧CD的度数有怎样的关系？

（2）你能比较∠APB 与弧AB所对圆周角的大小吗？根据上面的结论，请你解决下列问题： 如图11（2），A、B是两座灯塔，在弓形AmB内有暗礁，游艇C在附近的海上游弋，问游艇上的导航员如何通过观测才能知道有没有触礁的危险？

MCB图9相

ACDO图10 根据顶点、角的两边与圆的位置关系，我们定义了圆心角与圆周角，并探讨了圆周角、圆心角与它们

DPDPCDCCPABA

ABABB 图11（1）图11（2）

【学习课题】第

6课时：不在同一条直线上的三点共圆

【学习目标】：

不在同一直线上的三个点确定一个圆，过不在同一直线上的三个点作圆的方法 【学习重点】

过在不同一直线上的三个点作圆的方法 【学习过程】 一、学习准备

1、经过一点有_________条直线。 2、经过二点有_________条直线。 二、解读教材 3、作圆

在平面上有A、B两点， 连结AB，作AB的中垂线EF， 在EF上任意取点为圆心 结论：经过一点能作______个圆

结论，经过两点能______个圆

4、 探究：经过不在同一直线上的三点A、B、C作圆

结论：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

因此，三角形的三个点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。 三、挖掘教材

5、三角形的外心在哪里？

己知下面三个三角形，分别作出它们的处接圆，它们外心的位置有怎样的特点？

结论：（1）三角形外心的位置： 锐角三角形 外心在其内部 直角三角形 外心在斜边中点 钝角三角形 外心在其外部 无论哪种三角形，它们的外心就是各边垂平分线的交点。

在平面上有A、O1、O2、O3、点 以O1为圆心，O1A为半径画图 以O2为圆心，O2A为半径画图 以O3为圆心，O3A为半径画图

锐角三角形 直角三角形 钝角三角形

（2）只要三角形确定，那么它们的外心外接圆的半径就确定。 6、四点共圆 ⑴四点共圆的概念

如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，那么四边形叫圆内接四边形。这个圆叫做这个四边形的外接圆。我们就说这四点共圆。

性质1：如果这四点首尾顺次连接成的四边形的对角互补，那么这四点共圆。

性质2：如果这四点首尾顺次连接成的四边形的一个外角等于它的内对角，那么这四点共圆。 性质3：共边的两个三角形，在这条边的同侧且共边所对的角相等，那么这四点共圆。、

小结：经过任意四点不一定作圆。 【达标测评】 1、判断正误：

（1）任意一个三角形一定有一个外接圆，任意一个圆也只有一个内接三角形 （2）三角形的外心在三角形的外部

（3）三角形的外心是三角形角平分线的交点 （4）三形的外心到三边的距离相等

2、己知点A、B，经过A、B作圆，则半径为2㎝的圆的个数为___个。 3、己知△ABC，AC=15。BC=8，AB=17，求△ABC的外接圆半径。

4、己知A、B分别为∠MON边上异于O点的两点，则过AOB三点能作一个圆吗？

5、能在同一个圆上的是（ ）

A、平行四边形的四个顶点 B、等腰梯形四边的中点