圆学案（全章）

(3)还有其它结论吗？事实上，垂径定理及推论是指

（当①③为条件时，要对另一条

弦增加它不是 的限制）

7、垂径定理的运用

例1， 在直径650mm的圆柱形油槽中一些油后，截面如图。若油面宽AB=600mm，求油的最大深度。 解:过⊙O作OF?设EF=xmm

AB于E，交⊙O于F，连接OA

垂经定理是OAEB?OE=21?650-x=325-x

?OE?AB

?AE= AB=

在Rt?AOE中，?涉及圆内计算的重要定理 OA2= +

F即 = + 解得x1= ， x2= 答：油槽的最大深度为

例2，本市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选A,B,C三根木柱，使得A,B之间的距离A,C之间的距离相等。并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米，请帮她们求出滴水湖的半径。

即时练习 1，已知圆的半径为5，两平行弦长为6和8，则这两条弦的距离为

2，已知AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，OE交AC于D，AC=8，DE=2，求OD的长。

四．反思小结

1.圆是 图形，其对称轴是任意一条 。

2.垂直于弦的 平分这条弦，并且平分弦所对的 。

3.垂径定理及推论与勾股定理进行计算是常考内容，一般是在 三角形中研究。所以常见辅助线 ，常用数学思想有 【达标检测】

1、下列命题正确的是( )

A．弦的垂线平分弦所对的弧 B. 平分弦的直径垂直于这条弦

C. 过弦的中点的直线必过圆心 D. 弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心

2、如图已知⊙Ｏ的半径为30mm, 弦AB=36mm,点O到AB的距离是 ，?OAB 的余弦值为

?的中点，∠Ａ＝40o,则?BOC3、如图 在⊙Ｏ中，点Ｃ是AB

AOB画，标，标，联，写 等于（ ）

Ａ． 40o Ｂ.50o Ｃ.70o Ｄ.80o

4，圆的直径为8cm,弦CD垂直平分半径OA，这弦CD的长为 ?5，已知在圆中，弦AB∥CD,求证：AC=BD

【学习课题】 第3课时 圆的对称性（2）

【学习目标】1、知道圆心角、弦心距的概念。

2、了解圆的中心对称性和圆的旋转不变性。

3、理解四组量之间的关系定理及推论，并会运用其证明有关的问题。

【学习重点】圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理。 【候课朗读】垂径定理及其推论 【学习过程】 一、学习准备

动手画一圆

1）把⊙O沿着某一直径折叠，两旁部分互相重合观察得出：圆是 对称图形；

2）若把⊙O沿着圆心O旋转180°时，两旁部分互相重合，这时可以发现圆又是一个 对称图形。 3）若一个圆沿着它的圆心旋转任意一个角度，都能够与原来图形互相重合，这是圆的 不变性。 二、解读教材

1、认识圆心角、弦心距、弧的度数

1） 圆心角的定义： 。 2） 弦心距的定义： 。

3） 弧的度数：①把顶点在圆心的周角等分成 份时，每一份的圆心角是1°的角。

②因为在同圆中相等的圆心角所对的 相等，所以整个圆也被等分成360份，

这时，把每一份这样得到的 叫做1°的弧。

③圆心角的度数和它们对的弧的 相等。 2、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理

自制两个圆形纸片(要求半径相等)，并且在两个圆中，画出两个相等的圆心角，探究：在⊙O中，当圆心角∠AOB=∠A′OB′时，它们所对的弧AB和A'B'，弦AB和A′B′，弦心距OM和O′M′是否也相等呢？

定理总结：在 中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等，所对弦

的 也相等。

3、命题的证明

如图，已知：∠AOB=∠A′OB′，求证： 弧AB和A′B′，弦AB和A′B′，弦心距OM和OM′相等。

B?A?M? 证明： 把∠AOB连同绕圆心O旋转，使射线OA与O A′重合

?∠AOB=∠A′OB′ ∴射线OB与 重合 又? OA=O A′，OB=

∴点A与点 重合，点B与点B′重合。

这样，弧AB和A'B'重合，弦AB和A′B′重合，从点O到AB的垂线段OM和从点O到A′B′的垂线段OM′也重合。 即

= ，AB= ，OM= 。

OMAB问题1：定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提,是否还有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论。(学生分小组讨论、交流)

举出反例： 。 即时训练： 判断：

1）圆心角相等，则圆心角所对的弧也相等； ( ) 2）在同圆或等圆中，弦的弦心距相等； ( ) 3）弦的弦心距相等，则弦相等； ( ) 4）相等的圆心角所对的弧相等。 ( ) 问题2：在同圆或等圆中,若圆心角所对的弧相等,那么它们所对的弦相等吗？这个两个圆心角相等吗？你是怎样想的？如果弦相等呢？你会得到什么结论？

归纳推论：在 中，如果两个 、两条 、两条 或两条弦的 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。（简记：“知一推三”）

即时训练：已知:AB、CD是⊙O的两条弦,OE、OF为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空。

1）如果AB＝CD，那么 ， ， ；

2）如果OE＝OG，那么 ， ， ；

3）如果=，那么 ， ， ；

4）如果∠AOB＝∠COD，那么 ， ， 。 三、挖掘教材

例1、如图，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D，求证：AB=CD。

BAO

PC

例题拓展：当P点在圆上或圆内是否还有AB=CD呢？

即时训练：从⊙O外一点P向⊙O引两条割线PAB、PCD交⊙O于A、B、C、D，且AB=CD，求证：圆心O必在∠BPD的平分线上

例2、如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=DC，△ABC与△DCB全等吗？为什么？

BC⌒⌒D

OA

D

即时训练：