圆学案（全章）

【提示】设OA＝a，则S1＝

1211a，弓形ACB的面积＝?a2－a2． 242在Rt△AOB中，AB＝2a，则以AB为直径的半圆面积为 1AB21112212

2?2（）＝?2（a）＝?a．则S2＝?a2－（2224442?a2－

12a2）＝

12a2．

【答案】C．

【点评】本题考查三角形、圆、弓形的面积计算．注意：弓形的面积计算方法． （二）填空题（每题2分，共20分）

11．已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2和3，两圆相交于点A、B，且AB＝2，则

O1O2＝______．

【提示】当两圆在AB的两侧时，设O1O2交AB于C，则O1O2⊥AB，且AC＝BC，

∴ AC＝1．

在Rt△AO2C中，O2C＝在Rt△AO1C中，O1C＝∴ O1O2＝2

O2A2?AC2O1A2?AC2＝＝

32?1＝22； 22?12＝

3．

2＋3．

2－3．

当两圆在AB的同侧时，同理可求O1O2＝2

【答案】22±3．

【点评】此题考查“两圆相交时，连心线垂直于公共弦”的应用．注意：在圆中不要漏解，因为圆是轴对称图形，符合本题条件的两圆有两种情形．

12．已知四边形ABCD是⊙O的外切等腰梯形，其周长为20，则梯形的中位线长为_____． 【提示】圆外切四边形的两组对边之和相等，则上、下底之和为10，故中位线长为5． 【答案】5．

【点评】本题考查圆外切四边形的性质．注意：本题还可求得圆外切等腰梯形的腰长也为5，即等于中位线长．

13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过A、B两点，且与BC切于点B，

与AC交于D，连结BD，若BC＝【提示】在△ABC中，AB＝AC， 则 ∠ABC＝∠ACB＝72°， ∴ ∠BAC＝36°． 又 BC切⊙O于B，

∴ ∠A＝∠DBC＝36°． ∴ ∠BDC＝72°．

∴ ∠ABD＝72°－36°＝36°． ∴ AD＝BD＝BC． 易证△CBD∽△CAB， ∴ BC 2＝CD2CA． ∵ AD＝BD＝BC，

∴ CD＝AC－AD＝AC－BC． ∴ BC2＝（AC－BC）2CA． 解关于AC的方程，得AC＝

5－1，则AC＝______．

2BC． 5?1∴ AC＝

22（5－1）＝2． 5?1【答案】2．

【点评】本题考查弦切角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的性质．注意底角为72°的等腰三角形的特殊性，底角的平分线把对边分成的两线段的比为

5?1，即成黄金比． 21414．用铁皮制造一个圆柱形的油桶，上面有盖，它的高为80厘米，底面圆的直径为50厘米，那么这

个油桶需要铁皮（不计接缝） 厘米2（不取近似值）． 【提示】铁皮的面积即圆柱的侧面积与两底的面积的和．底面圆面积为

?2502＝625?（厘米2），底面圆周

长为?350＝50?（厘米），则铁皮的面积为23625?＋80350?＝5250?（厘米2）．

2

【答案】5250?厘米．

【点评】本题考查圆柱的侧面展开图的面积及圆柱的表面积．注意：圆柱的表面积等于侧面积与两底面积之和．

5．已知两圆的半径分别为3和7，圆心距为5，则这两个圆的公切线有_____条． 【提示】∵ 7－3＜5＜7＋3，

∴ 两圆相交，

∴ 外公切线有2条，内公切线有0条． 【答案】2．

【点评】本题考查两圆的位置关系及对应的圆心距与两圆半径的关系．注意：仅仅从 5＜7＋3并不能断定两圆相交，还要看5与7－3的大小关系．

16．如图，以AB为直径的⊙O与直线CD相切于点E，且AC⊥CD，BD⊥CD，

AC＝8 cm，BD＝2 cm，则四边形ACDB的面积为______．

【提示】设AC交⊙O于F，连结BF．

∵ AB为⊙O的直径， ∴ ∠AFB＝90°． 连结OE，则OE⊥CD， ∴ AC∥OE∥BD． ∵ 点O为AB的中点， ∴ E为CD的中点．

∴ OE＝

12（BD＋AC）＝

12（8＋2）＝5（cm）．

∴ AB＝235＝10（cm）．

在Rt△BFA中，AF＝CA－BD＝8－2＝6（cm），AB＝10 cm， ∴ BF＝10?6＝8（cm）． ∴ 四边形ACDB的面积为

2212（2＋8）28＝40（cm2）．

【答案】40 cm2．

【点评】本题考查直径的性质、中位线的判定与性质、切线的性质．注意：在圆中不要忽视直径这一隐含条件．

17．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，⊙O的半径长为6 cm，PO＝10 cm，

则△PDE的周长是______．

图中知，CM＝R＋8，MD＝R－8，

【提示】连结OA，则OA⊥AP．

在Rt△POA中，PA＝OP?OA＝10?6＝8（cm）． 由切线长定理，得EA＝EC，CD＝BD，PA＝PB， ∴ △PDE的周长为

PE＋DE＋PD

＝PE＋EC＋DC＋PD， ＝PE＋EA＋PD＋DB ＝PA＋PB＝16（cm）．

【答案】16 cm．

【点评】本题考查切线长定理、切线的性质、勾股定理．注意：在有关圆的切线长的计算中，往往利用切线长定理进行线段的转换．

2222

18．一个正方形和一个正六边形的外接圆半径相等，则此正方形与正六边形的面积之比为_______． 【提示】设两正多边形的外接圆半径为R，则正方形面积为43

122R2＝2 R2，正六边形的面积为6

33233R2，所以它们的比为2 R2：3R2＝43︰9． R＝224【答案】43︰9．

3

【点评】本题考查正方形、正六边形的面积与外接圆的半径之间的关系．注意：正多边形的面积通常化为n个三角形的面积和．

19．如图，已知PA与圆相切于点A，过点P的割线与弦AC交于点B，与圆相交于点D、

E，且PA＝PB＝BC，又PD＝4，DE＝21，则AB＝______．

【提示】由切割线定理，得 PA2＝PD2PE．

∴ PA＝4?25＝10． ∴ PB＝BC＝10．

∵ PE＝PD＋DE＝25， ∴ BE＝25－10＝15． ∴ DB＝21－15＝6．

由相交弦定理，得 AB2BC＝BE2BD． ∴ AB210＝1536． ∴ AB＝9． 【答案】9．

【点评】本题考查切割线定理与相交弦定理的应用，要观察图形，适当地进行线段间的转化． 20．如图，在□ABCD中，AB＝43，AD＝23，BD⊥AD，以BD为直径的⊙O交AB于E，交

CD于F，则□ABCD被⊙O截得的阴影部分的面积为_______． 【提示】连结OE、DE．

∵ AD⊥BD，且AB＝43，AD＝2∴ ∠DBA＝30°，且BD＝6． ∵ BD为直径， ∴ ∠DEB＝90°． ∴ DE＝BD2sin 30°＝63∴ S△DEB＝

3，

121233

13＝3，BE＝63＝33． 229333＝3．

294

∵ O为BD的中点， ∴ S△BOE＝∵ DO＝

S△DEB＝

3．

12BD＝3，∠DOE＝2330°＝60°，

∴ S阴影＝2（S△ADB－S扇形DOE－S△EOB）＝2（

1232

336－

609?232－3604． 3）

＝

152【答案】3－3?．

153?3π． 2【点评】本题考查了勾股定理、扇形面积公式、解直角三角形等知识．注意：求不规则图形面积，往往转化为规则图形的面积的和或差的形式． （三）判断题（每题2分，共10分）

21．点A、B是半径为r的圆O上不同的两点，则有0＜AB≤2 r??????（ ） 【答案】√．【点评】因为直径是圆中最大的弦，则判断正确．

22．等腰三角形顶角平分线所在直线必过其外接圆的圆心??????????（ ） 【答案】√．【点评】因为等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边，根据垂径定理的推论知，顶角平分线所在直线必过圆心．

23．直角梯形的四个顶点不在同一个圆上?????????????????（ ） 【答案】√．

【点评】若在同一个圆上，则对角互补，故四个角全为直角．所以假设不成立，原命题成立． 24．等边三角形的内心与外心重合????????????????????（ ） 【答案】√．

【点评】等腰三角形的顶角的平分线也是对边的中线与高，因此等边三角形的内心与外心重合． 25．两圆没有公共点时，这两个圆外离?????????????????（ ） 【答案】3．【点评】两圆没有公共点时，既可以是外离，也可以是内含，所以原命题不成立． （四）解答题与证明题（共50分）

26．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D，

BE与AC相交于点F，且CB＝CE，求证：（1）BE∥DG；（2）CB2－CF2＝BF2FE．

【提示】（1）证明利用弦切角定理进行角之间的转化可证∠E＝∠GCE；把（2）变形为CB＝CF＋BF2FE．

∵ BF2FE＝CF2AF，

∴ CF2＋BF2FE＝CF2＋CF2AF

＝CF（CF＋AF） ＝CF2CA．

2

即只要证CB＝CF2CA即可，只需证△CBF∽△CAB． 【略证】（1）∵ CG为⊙O的切线，

∴ ∠EBC＝∠GCE． ∵ CB＝CE，∴ ． ∴ ∠EBC＝∠E．∴ ∠E＝∠GCE．∴ GC∥EB． （2）∵ ∠EBC＝∠E＝∠A，∠FCBO为公共角，

∴ △CBF∽△CAB． 2

∴ CB＝CF2CA＝CF2（CF＋AF）＝CF2＋CF2AF．

由相交弦定理，得 CF2FA＝BF2FE，

∴ CB2＝CF2＋BF2FE．即 CB2－CF2＝BF2FE．

【点评】对于形如a2＝cd＋ef的等式的证明较困难，因不易找到突破口．一般先把待证明的等式进行变形，以便于看出等式中线段之间的联系．如本题中，先把CF2移到等式的右边去，再结合相交弦定理找出了思路． 27．（8分）如图，⊙O表示一个圆形工件，图中标注了有关尺寸，且MB︰MA＝1︰4，

求工件半径的长．

【提示】把OM向两方延长，交⊙O于点C、D．设⊙O的半径为R，则可用相交弦定理求半径长． 【略解】把OM向两方延长，分别交⊙O于C、D两点．设⊙O的半径为R．

从图中知，AB＝15 cm． 又 MB︰MA＝1︰4，

∴ MB＝

2

2

1315＝3（cm），MA＝12 cm． 5从图中知，CM＝R＋8，MD＝R－8，

由相交弦定理，得 AM2BM＝CM2MD． ∴ 1233＝（R＋8）（R－8）．

解此方程，得 R＝10或R＝－10（舍去）． 故工件的半径长为10 cm．

【点评】此题是一道实际问题，要善于把实际问题转化为数学问题，因在圆中，OM与AB相交，故向相交弦定理转化． 28．（8分）已知：如图（1），⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，

经过A

点的直线分别交⊙O1、⊙O2于C、D两点（C、D不与B重合），连结BD，过点C作BD的平行线交⊙O1于点E，连BE． （1）求证：BE是⊙O2的切线； （2）如图（2），若两圆圆心在公共弦AB的同侧，其他条件不变，判断BE和⊙O2的位置关系（不要求证明）．