2020年湖南省长沙一中高考数学模拟试卷（理科）（一）（5月份）（有答案解析）

令x=1可得=（1，，），

又平面ABC的一个法向量为=（0，0，1）， ∴cos＜＞===．

由图形可知二面角P-AB-C为锐二面角， ∴二面角P-AB一C的余弦值为．

解析：（1）证明BC⊥平面PAC得出BC⊥PA，再结合PA⊥PC即可得出AP⊥平面PBC；

（2）建立空间坐标系，求出平面PAB和平面ABC的法向量，通过计算法向量的夹角即可得出二面角的大小．

本题考查了线面垂直的判定，考查空间向量与空间角的计算，属于中档题．

19.答案：解：（1）∵椭圆的离心率，

过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为3，

∴，解得a=2，b=，

∴椭圆方程为（2）设A（将l：y=． ），B（），P（m，n），

代入椭圆方程，得：x2+tx+t2-3=0，

△=t2-4（t2-3）＞0，t2＜4， 则有x1+x2=-t，x1x2=t2-3， 直线PA，PB的斜率之和为： kPA+kPB===当n=，

，2mn=3时，斜率的和恒为0．

+ 解得m=1，n=或m=-1，n=-．

故所有满足条件的定点P的坐标为（1，）和（-1，-）．

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解析：（1）由椭圆的离心率能求出a=2，b=（2）设A（，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为3，列方程组

，由此能求出椭圆方程．

B），（Pn）y=），（m，，将l：

x2+tx+t2-3=0，代入椭圆方程，得：

由此利用根的判别式、韦达定理、直线的斜率，结合已知条件能求出所有满足条件的定点P的坐标． 本题考查椭圆方程、点的坐标的求法，考查椭圆、直线方程、直线与椭圆的位置关系、根的判别式、韦达定理、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

20.答案：解：（1）根据茎叶图知，①乙种棉花的纤维平均长度大于甲种棉花的纤维平均长度， （或：甲种棉花的纤维平均长度小于乙种棉花的纤维平均长度） ②甲种棉花的纤维长度较乙种棉花的纤维长度更分散， （乙种棉花的纤维长度较甲种棉花的纤维长度更集中些）；

③甲种棉花的纤维长度的中位数是307mm，乙种棉花的纤维长度的中位数为318mm， ④乙种棉花的纤维长度基本上是对称的，且大多集中在中间（均值附近），

甲种棉花的纤维长度除1个特殊值（352）外，也大致对称，且分布均匀；（写出2个结论即可） （2）记事件A为“从样本中随机抽取甲、乙两种棉花各2根，其中恰有3根一级棉花”， 则所求的概率为P（A）==；

（3）由题意知，随机变量X的可能取值是0、1、2，其相应的概率为： P（X=0）=×=，P（X=1）=×+×=，P（X=2）=×=； 所以X的分布列为， X P 0 1 2 数学期望为E（X）=0×+1×+2×=1．

解析：（1）根据茎叶图可从棉花的纤维平均长度、纤维长度的离散性，中位数以及数据的分布情况进行分析，写出2个结论即可；

（2）利用相互独立事件的概率公式计算即可；

（3）由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值．

本题考查了用频率估计概率、随机变量的分布列与数学期望的应用问题，也考查了推理与计算能力，属于中档题．

21.答案：解：（I）f′（x）=2x-8+，（x＞0），∵当x=1时，f（x）取得极值，

∴f′（1）=2-8+a=0，解得a=6．经过验证满足题意． ∴a=6．

（II）当函数f（x）在（0，+∞）内有两个极值点x1，x2（x1＜x2）且x1≠1时， 则u（x）=2x2-8x+a=0在（0，+∞）上有两个不等正根． ∴，∴0＜a＜8．

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∴x1+x2=4，x1x2=，0＜x1＜x2，∴x2=4-x1，a=2x1x2=2x1（4-x1），可得0＜x1＜2． ∴即即成立，即＞（m-2）（x1+1），即[2lnx1+＞（m-2）（4-x1）（x1+1），

-（m-2）（x1+1）＞0，

＞0． （0＜x＜2）．

]＞0，且0＜x1＜1时，＜0．即h（x）=2lnx+（0＜x＜2．

1＜x1＜2时，h′（x）=①m=2时，h′（x）=＞0．∴h（x）在（0，2）上为增函数，且h（1）=0， ∴x∈（1，2）时，h（x）＞0，不合题意舍去． ②m＞2时，h′（x）＞0．同①不合题意舍去． ③m＜2时，（i）△≤0时，解得m≤1，h′（x）≤0，

在（0，2）内函数h（x）为减函数，且h（1）=0，可得：0＜x＜1时，h（x）＞0． 1＜x＜2时，h（x）＜0．∴＞0成立．

＞1，开口向下，

（ii）△＞0时，1＜m＜2，h′（x）分子中的二次函数对称轴x=且函数值=2（m-1）＞0，即a=min{，2}，

则x∈（1，a）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，h（1）=0，h（x）＞0，故舍去． 综上可得：m的取值范围是m≤1．

解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，难度较高．

（I）f′（x）=2x-8+，（x＞0），由题意可得f′（1）=0，解得a．经过验证即可得出． （II）当函数f（x）在（0，+∞）内有两个极值点x1，x2（x1＜x2）且x1≠1时，则u（x）=2x2-8x+a=0+∞）在（0，上有两个不等正根．可得x2=4-x1，a=2x1x2=2x1，利用根与系数的关系可得：

（4-x1），可得0＜x1＜2．∴[2lnx1+]＞0，且0＜x1＜1时，成立，即＞0.1＜x1＜2时，-（m-2）（x1+1）＞0，即＜0．即h（x）=2lnx+（0＜x＜2）．对m分类讨论利用导数研究其单调性即可得出．

22.答案：解：（1）由曲线C1的参数方程为又x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入参数），消去参数可得=， ．

，可得曲线C1的极坐标方程为第15页，共16页

由曲线C2是圆心的极坐标为（从而得C2的普通方程为（2）将又将故|AB|=（ρ≥0）代入（ρ≥0）代入．

）且经过极点的圆，可得其极坐标方程为； ，得，得， ．

，

解析：（1）由曲线C1的参数方程直接消去参数可得普通方程，结合x=ρcosθ，y=ρsinθ得曲线C1的极坐标方程．由曲线C2是圆心的极坐标为（，两边同乘ρ后得C2的普通方程；

（2）将（ρ≥0）分别代入代入与，求得A，B的极径，作差可得线

）且经过极点的圆，可得其极坐标方程为段AB的长．

本题考查简单曲线的极坐标方程，考查计算能力，是中档题． 23.答案：（Ⅰ）解：f（x+3）≥0的解集为[-1，1]，即为 |x|≤k的解集为[-1，1]，（k＞0）， 即有[-k，k]=[-1，1]， 解得k=1；

（Ⅱ）证明：将k=1代入可得， ++=1（a，b，c＞0），

则a+2b+3c=（a+2b+3c）（++）=3+（+）+（+）+（+） ≥3+2+2+2=3+2+2+2=9，

当且仅当a=2b=3c，上式取得等号． 则有．

解析：（Ⅰ）由题意可得|x|≤k的解集为[-1，1]，（k＞0），由绝对值不等式的解法，即可求得k=1； （Ⅱ）将k=1代入，再由乘1法，可得a+2b+3c=（a+2b+3c）（++），展开运用基本不等式即可得证．

本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的证明，注意运用不等式和方程的转化思想，运用添1法和基本不等式是解题的关键．

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