2020年湖南省长沙一中高考数学模拟试卷（理科）（一）（5月份）（有答案解析）

2020年湖南省长沙一中高考数学模拟试卷（理科）（一）（5月份）

题号 得分 一 二 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知集合A={x|（x+1）（x-2）≤0}，B={-1，0，1，2，3}，则A∩B=（ ）

A. {-1，0，1} B. {-1，0，1，2} C. {0，1，2} D. {0，1，2，3} 2. 已知i为虚数单位，复数z满足（1+2i）z=（1+i）（2-i），则|z|=（ ）

三 总分 A. 3. 已知 B. ，则sin2α=（ ）

C. D. A. B. C. D. 4. 一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为

棱长的一半．若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）

A. 1 B. C. D. 5. 若非零向量、满足（ ）

，则在方向上的投影为A. 4 B. 8 C. D. 6. 形状如图所示的2个游戏盘中（图①是半径为2和4的两个同心圆，O为圆心；图②是正六边

形，点P为其中心）各有一个玻璃小球，依次摇动2个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏，则一局游戏后，这2个盘中的小球都停在阴影部分的概率是（ ）

A. 7. 若函数B. C. D. ，且f（α）=2，f（β）=0，|α-β|的最小值是，则f（x）

的单调递增区间是（ ）

A. C. B. D. 第1页，共16页

8. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、

清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为( ) A. 4.5尺 B. 3.5尺 C. 2.5尺 D. 1.5尺 9. 平面直角坐标系中,动点到圆上的点的最小距离与其到直线的距离相等,则点的轨迹方程是( )

A. B. C. D. 10. 已如定点P（1，9），动点Q（x，y）在线性约東条件所表示的平面区域内，则直线PQ的斜率k的取值范围为（ ） A. [-1，7] B. [-7.1] C. （-∞，-1]∪[7，+∞） D. [-9，-1]∪[7，+∞）

11. 已知三棱锥P-ABC的棱AP、AB、AC两两垂直，且长度都为，以顶点P为球心2为半径作一

个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于（ ）

A. B. C. π D. 12. 已知函数f（x）=-x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底数）与g（x）=3lnx的图象上存在关于x轴

对称的点，则实数a的取值范围是（ ）

A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知双曲线的一条新近线的斜率为，则此双曲线的离心率为______．

14. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，若S3＝a2＋4a1，T5＝243，则a1的值为

__________．

15. 已知(2＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为15，则展开式中所有项的系数和为________．

16. 已知14C的半衰期为5730年（是指经过5730年后，14C的残余量占原始量的一半）．设14C的

原始量为a，经过x年后的残余量为b，残余量b与原始量a的关系如下：b=ae-kx，其中x表示经过的时间，k为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量约占原始量的76.7%．请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今______年．（已知log20.767≈-0.4） 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 如图，在平面四边形ABCD中，AB=2，AC=2，∠ADC=∠CAB=90°，设∠DAC=θ．

（1）若θ=60°，求BD的长度； （2）若∠ADB=30°，求tanθ．

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18. 如图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，平面PAC垂直圆O所在平面，直线

PC与圆O所在平面所成角为60°，PA⊥PC．

(1)证明：AP⊥平面PBC； (2)求二面角P—AB—C的余弦值．

19. 已知椭圆为3．

(1)求椭圆的方程；

(a＞b＞0)的离心率，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长

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(2)已知P为直角坐标平面内一定点，动直线与椭圆交于A，B两点，当直线PA与

直线PB的斜率均存在时，若直线PA与PB的斜率之和为与t无关的常数，求出所有满足条件的定点P的坐标．

20. 从甲、乙两种棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm）组成一个样本，且将纤维长

度超过315mm的棉花定为一级棉花．设计了如图茎叶图：

（1）根据以上茎叶图，对甲、乙两种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论（不必计算）； （2）从样本中随机抽取甲、乙两种棉花各2根，求其中恰有3根一级棉花的概率；

（3）用样本估计总体，将样本频率视为概率，现从甲、乙两种棉花中各随机抽取1根，求其中一级棉花根数X的分布列及数学期望．

21. 已知函数f（x）=x2-8x+alnx（a∈R）

（Ⅰ）当x=1时，f（x）取得极值，求a的值；

（Ⅱ）当函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）且x1≠1时，总有立，求m的取值范围．

成

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