高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.6正、余弦定理及其应用举例教学案理新人教A版

∴b＝2.

5．(1)证明：在△ABC中，由于sin B(tan A＋tan C)＝tan Atan C，

?sin A＋sin C?＝sin A·sin C，

所以sin B??

?cos Acos C?cos Acos C因此sin B(sin Acos C＋cos Asin C)＝sin Asin C， 所以sin Bsin(A＋C)＝sin Asin C， 又A＋B＋C＝π，

所以sin(A＋C)＝sin B，

2

因此sinB＝sin Asin C.

2

由正弦定理得b＝ac， 即a，b，c成等比数列． (2)解：因为a＝1，c＝2，

a2＋c2－b212＋22－(2)23

所以b＝2，由余弦定理得cos B＝＝＝，

2ac2×1×24

因为0＜B＜π，

72

所以sin B＝1－cosB＝，

41177

故△ABC的面积S＝acsin B＝×1×2×＝.

2244

6．解：(1)解法一：设相遇时小艇的航行距离为s海里，则s＝

2

900t＋400－2·30t·20·cos(90°－30°)

2

＝900t－600t＋400

?1?2

＝900?t－?＋300.

?3?1103

故当t＝时，smin＝103，v＝＝303.

31

3

即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．

解法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向，如图，设小艇与轮船在C处相遇．

在Rt△OAC中，OC＝20cos 30°＝103，AC＝20sin 30°＝10. 又AC＝30t，OC＝vt，

101103

此时，轮船航行时间t＝＝，v＝＝303.即小艇以303海里/时的速度航

3031

3

行，相遇时小艇的航行距离最小．

222

(2)如图，设小艇与轮船在B处相遇，由题意，可得(vt)＝20＋(30t)－2·20·30t·cos(90°－30°)．

化简，得v＝

2

400600?13?2

＋900＝400?－?＋675. 2－tt?t4?

11

由于0＜t≤，即≥2，

2t1

所以当＝2时，v取得最小值1013，

t即小艇航行速度的最小值为1013海里/时．