同济六版高数下教案

其中M?4?a3?为球体的质量?

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提示? x?y?rsin2?cos2??r2sin2? sin2??r2sin2?? 四、引力

我们讨论空间一物体对于物体外一点P0(x0? y0? z0)处的单位质量的质点的引力问题? 设物体占有空间有界闭区域?? 它在点(x? y? z)处的密度为?(x? y? z)? 并假定?(x? y? z)在?上连续?

在物体内任取一点(x? y? z)及包含该点的一直径很小的闭区域dv(其体积也记为dv)? 把这一小块物体的质量?dv近似地看作集中在点(x? y? z)处? 这一小块物体对位于P0(x0? y0? z0)处的单位质量的质点的引力近似地为 dF?(dFx,dFy,dFz) ?(G?(x,y,z)(x?x0)r3dv,G?(x,y,z)(y?y0)r3dv,G?(x,y,z)(z?z0)r3dv)?

其中dFx、dFy、dFz为引力元素dF在三个坐标轴上的分量? r?(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2? G为引力常数? 将dFx、dFy、dFz在?上分别积分? 即可得Fx、Fy、Fz? 从而得F?(Fx、Fy、Fz)?

例7设半径为R的匀质球占有空间闭区域??{(x? y? z)|x2?y2?z2?R2)? 求它对于位于点M0(0? 0? a) (a>R)处的单位质量的质点的引力?

解 设球的密度为?0? 由球体的对称性及质量分布的均匀性知Fx=Fy=0, 所求引力沿

z轴的分量为

z?adv 23/2[x?y?(z?a)]Rdxdy? ? G?0?(z?a)dz??2223/2?R2[x2?y?(z?a)]R2??y2?R2?R2?z?d?x2 ?G?0?(z?a)dz? d??z223/2?RR00[??(z?a)]1)dz ?2?G?0?(z?a)(1?22?Ra?zR?22az?a2R1 ?2?G?0[?2R??(z?a)dR?2az?a]

a?R2R3 ?2G??0(?2R?2R?2)

3aM34?R1?0?2??G2? ??G?3aa34?R?0为球的质量? 其中M?3 Fz????G?022 上述结果表明? 匀质球对球外一质点的引力如同球的质量集中于球心时两质点间的引力? 小结

1.曲面面积的计算； 2. 质心的计算；

3. 转动惯量的定义和求解。 教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意曲面面积的计算，质心的计算，转动惯量的定义和求解，要结合实例，反复讲解。

作业 P175: 1，2，4（1），7（1）

第十一章 曲线积分与曲面积分

教学目的：

1. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关

系。

2. 掌握计算两类曲线积分的方法。

3. 熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函

数。

4. 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分

的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。 5. 知道散度与旋度的概念，并会计算。

6． 1、 2、 3、 4、 5、 1、 2、 3、 4、 5、

§11.1 对弧长的曲线积分

教学内容：对弧长的曲线积分的概念与性质及计算 重点难点：对弧长的曲线积分的概念与计算 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 曲线形构件的质量?

设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上? 已知曲线形构件在点(x? y)处的线密度为?(x? y)? 求曲线形构件的质量?

把曲线分成n小段? ?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn(?si也表示弧长)? 任取(?i ? ?i)??si? 得第i小段质量的近似值?(?i ? ?i)?si? 整个物质曲线的质量近似为M???(?i,?i)?si?

i?1n会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。 两类曲线积分的计算方法； 格林公式及其应用； 两类曲面积分的计算方法； 高斯公式、斯托克斯公式；

两类曲线积分与两类曲面积分的应用。 两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系； 对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算； 应用格林公式计算对坐标的曲线积分； 应用高斯公式计算对坐标的曲面积分； 应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。

教学重点:

教学难点：

令??max{?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn}?0? 则整个物质曲线的质量为 M?lim??(?i,?i)?si?

??0i?1n 这种和的极限在研究其它问题时也会遇到?

定义 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧? 函数f(x? y)在L上有界? 在L上任意插入一点列M1? M2? ? ? ?? Mn?1把L分在n个小段. 设第i个小段的长度为?si? 又(?i? ?i)为第i个小段上任意取定的一点? 作乘积f(?i? ?i)?si? (i?1? 2?? ? ?? n )? 并作和?f(?i,?i)?si? 如果当

i?1n各小弧段的长度的最大值??0? 这和的极限总存在? 则称此极限为函数f(x? y)在曲线弧Ln上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分? 记作?f(x,y)ds? 即?f(x,y)ds?lim?f(?i,?i)?si?

LL??0i?1其中f(x? y)叫做被积函数? L 叫做积分弧段?

设函数f(x? y)定义在可求长度的曲线L上? 并且有界?

将L任意分成n个弧段? ?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn? 并用?si表示第i段的弧长? 在每一弧段?si上任取一点(?i? ?i)? 作和?f(?i,?i)?si?

i?1n 令??max{?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn}? 如果当??0时? 这和的极限总存在? 则称此极限为函数

f(x? y)在曲线弧L上对弧长的

曲线积分或第一类曲线积分? 记作?f(x,y)ds? 即

L ?f(x,y)ds?lim?f(?i,?i)?si?

Ln??0i?1其中f(x? y)叫做被积函数? L 叫做积分弧段?

曲线积分的存在性? 当f(x? y)在光滑曲线弧L上连续时? 对弧长的曲线积分?f(x,y)dsL是存在的? 以后我们总假定f(x? y)在L上是连续的?

根据对弧长的曲线积分的定义?曲线形构件的质量就是曲线积分??(x,y)ds的值? 其中

L?(x? y)为线密度?

对弧长的曲线积分的推广? ?f(x,y,z)ds?lim?f(?i,?i,?i)?si?

?n??0i?1 如果L(或?)是分段光滑的? 则规定函数在L(或?)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和? 例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2? 则规定 ?L1?L2f(x,y)ds??f(x,y)ds??f(x,y)ds?

L1L2 闭曲线积分? 如果L是闭曲线? 那么函数f(x? y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作

?Lf(x,y)ds?

对弧长的曲线积分的性质? 性质1 设c1、c2为常数? 则

?[c1f(x,y)?c2g(x,y)]ds?c1?f(x,y)ds?c2?g(x,y)ds?

LLL 性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2? 则 ?f(x,y)ds??f(x,y)ds??f(x,y)ds?

LL1L2 性质3设在L上f(x? y)?g(x? y)? 则 ?f(x,y)ds??g(x,y)ds?

LL特别地? 有

|?f(x,y)ds|??|f(x,y)|ds

LL 二、对弧长的曲线积分的计算法

根据对弧长的曲线积分的定义? 如果曲线形构件L的线密度为f(x? y)? 则曲线形构件L的质量为

?f(x,y)ds?

L 另一方面? 若曲线L的参数方程为

x??(t)? y?? (t) (??t??)?

则质量元素为

f(x,y)ds?f[?(t), ?(t)]??2(t)???2(t)dt? 曲线的质量为

?f[?(t), ?(t)]??2(t)???2(t)dt?

??即 ?f(x,y)ds??f[?(t), ?(t)]??2(t)???2(t)dt?

L?? 定理 设f(x? y)在曲线弧L上有定义且连续? L的参数方程为 x??(t)? y??(t) (??t??)?

其中?(t)、?(t)在[?? ?]上具有一阶连续导数? 且??2(t)???2(t)?0? 则曲线积分?f(x,y)dsL存在? 且

?f(x,y)ds??f[?(t),?(t)]??2(t)???2(t)dt(?

L?? 证明（略）

应注意的问题? 定积分的下限?一定要小于上限?? 讨论?

(1)若曲线L的方程为y??(x)(a?x?b)? 则?f(x,y)ds??

L提示? L的参数方程为x?x? y??(x)(a?x?b)?