同济六版高数下教案

教学内容：二重积分的计算

重点难点：区域类型的划分、利用极坐标计算 一、利用直角坐标计算二重积分

X??型区域? D ? ?1(x)?y??2(x)? a?x?b ? Y ??型区域? D ? ?1(x)?y??2(x)? c?y?d ? 混合型区域? 设f(x? y)?0? D?{(x? y)| ?1(x)?y??2(x)? a?x?b}?

此时二重积分??f(x,y)d?在几何上表示以曲面z?f(x? y)为顶? 以区域D为底的曲顶柱体的体积?

D 对于x0?[a? b]? 曲顶柱体在x?x0的截面面积为以区间[?1(x0)? ?2(x0)]为底、以曲线

z?f(x0? y)为曲边的曲边梯形? 所以这截面的面积为 A(x0)??b?2(x0)?1(x0)f(x0,y)dy?

根据平行截面面积为已知的立体体积的方法? 得曲顶柱体体积为

V??A(x)dx??[?ab?2(x)a?1(x)f(x,y)dy]dx?

即 V???f(x,y)d???[?Db?2(x)a?1(x)f(x,y)dy]dx?

可记为

??f(x,y)d???dx?Dab?2(x)?1(x)f(x,y)dy?

类似地? 如果区域D为Y ??型区域? D ? ?1(x)?y??2(x)? c?y?d ? 则有

d ??f(x,y)d???dy?Dc?2(y)?1(y)f(x,y)dx?

例1? 计算??xyd?? 其中D是由直线y?1、x?2及y?x所围成的闭区域?

D 解? 画出区域D?

方法一? 可把D看成是X??型区域? 1?x?2? 1?y?x ? 于是

422y2x1xx1293?[?]?? ?[x?]dx?(x?x)dxxyd??[xydy]dx11?12???1?124282?12x2D注? 积分还可以写成??xyd???dx?xydy??xdx?ydy?

D11112x2x 解法2? 也可把D看成是Y??型区域? 1?y?2? y?x?2 ? 于是

422y3x2y292??xyd???1[?yxydx]dy??1[y?2]ydy??1(2y?2)dy?[y?8]1?8?

222D 例2? 计算??y1?x2?y2d?? 其中D是由直线y?1、x??1及y?x所围成的闭区域?

D 解 画出区域D? 可把D看成是X??型区域? ?1?x?1? x?y?1? 于是

111(|x|3?1)dx dx?? ??y1?x2?y2d???dx?y1?x2?y2dy??1?[(1?x2?y2)2]1x?1x3?13??1113D1 ??2?(x3?1)dx?1?

302 也可D看成是Y??型区域：?1?y?1? ?1?x

??y1?x2?y2d???ydy?D?11y?11?x2?y2dx?

例3 计算??xyd?? 其中D是由直线y?x?2及抛物线y2?x所围成的闭区域?

D 解 积分区域可以表示为D?D1+D2?

其中D1: 0?x?1, ?x?y?x? D2: 1?x?4, 2?y?x? 于是

??xyd???dx?D01x?xxydy??dx?14xx?2xydy?

积分区域也可以表示为D? ?1?y?2? y2?x?y?2? 于是

??xyd???dy?D?12y?2y22x12[y(y?2)2?y5]dy ?2xydx??[y]y2dy?y?122??126y44312y2 ?[?y?2y?]?1?55?

24368讨论积分次序的选择?

例4 求两个底圆半径都等于?的直交圆柱面所围成的立体的体积? 解 设这两个圆柱面的方程分别为

x2?y2?? 2及x2?z2?? 2?

利用立体关于坐标平面的对称性? 只要算出它在第一卦限部分的体积V1? 然后再乘以8就行了?

第一卦限部分是以D?{(x? y)| 0?y?R2?x2, 0?x??}为底? 以z?R2?x2顶的曲顶柱体? 于是

V?8??R?xd??8?dx?D22RR2?x200R?xdy?8?[R2?x2y]0R022R2?x2dx

?8?(R2?x2)dx?16R3? 03R 二? 利用极坐标计算二重积分

有些二重积分? 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便? 且被积函数用极坐标变量? 、? 表达比较简单? 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分

nlim?f(?i,?i)??i? ??f(x,y)d?? 按二重积分的定义??f(x,y)d????0DDi?1 下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式?

以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域? 小闭区域的面积为?

??i?1(?i???i)2???i?1??i2???i?1(2?i???i)??i???i

222??(?i???i)???i???i??i??i??i? ?i2其中?i表示相邻两圆弧的半径的平均值?

在??i内取点( ?i , ?i )? 设其直角坐标为(? i? ? i)? 则有 ?i??i cos?i? ?i??i sin?i?

于是 lim?f(?i,?i)??i?lim?f(?i cos?i,?i sin?i)?i ??i??i?

??0i?1nn??0i?1即 ??f(x,y)d????f(?cos?,?sin?)?d?d??

DD若积分区域D可表示为? 1(?)???? 2(?)? ?????? 则 ??f(?cos?,?sin?)?d?d???d??D??2(?)??1(?)f(?cos?,?sin?)?d??

讨论?如何确定积分限? ??f(?cos?,?sin?)?d?d???d??D??(?)?0f(?cos?,?sin?)?d??

??f(?cos?,?sin?)?d?d???d??D02??(?)0f(?cos?,?sin?)?d??

例5? 计算??e?xD2?y2dxdy? 其中D是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域?

解 在极坐标系中? 闭区域D可表示为 0???a ? 0?? ?2? ? 于是 ??eD?x2?y2dxdy???eD??2?d?d???[?e002?a??2a?d?]d? ??[?1e??]0d?

22?02 ?1(1?e?a)?d???(1?e?a)?

02222? 注? 此处积分??e?xD2?y2dxdy也常写成

x2?y2?a2??e?x2?y2dxdy?

利用

x2?y2?a2?xe??2?y2dxdy??(1?e?a)计算广义积分?e?xdx?

02

2

2

2

2

2

2??2 设D1?{(x? y)|x?y?R? x?0? y?0}? D2?{(x? y)|x?y?2R? x?0? y?0}?S?{(x? y)|0?x?R?

0?y?R}?

显然D1?S?D2? 由于e?x ??e?xD122?y2?0? 从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式

2?y2dxdy???e?xS?y2dxdy???e?xD22?y2dxdy?

因为 ??e?xS2?y2dxdy??e?xdx??e?ydy?(?e?xdx)2?

000R2R2R2又应用上面已得的结果有 ??e?xD12?y2dxdy??(1?e?R)? ??e?x422?y2D2dxdy??(1?e?2R)?

42R222??R于是上面的不等式可写成(1?e)?(?e?xdx)2??(1?e?2R)?

404??2?令R???? 上式两端趋于同一极限? 从而?e?xdx???

4 02 例6 求球体x2?y2?z2?4a2被圆柱面x2?y2?2ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积?

解 由对称性? 立体体积为第一卦限部分的四倍?

V?4??4a2?x2?y2dxdy?

D其中D为半圆周y?2ax?x2及x轴所围成的闭区域? 在极坐标系中D可表示为

0???2a cos? ? 0??? ??

2于是 V?4??4a???d?d??4?2d??D022?2acos?04a2??2?d?

?32a2?2(1?sin3?)d??32a2(??2)?

03323小结

1.二重积分化为累次积分的方法； 2. 积分计算要注意的事项。 教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意二重积分化为累次积分的方法：分直角坐标和极坐标，以及在计算时要注意事项，要结合实例，反复讲解。

作业 P154: 1 (2), (4); 2 (1), (3); 6 (2), (4);

12 (1), (3); 13 (3), (4); 14 (1), (2)；15（1）（2）

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