高三一轮复习三角函数专题及答案解析

弘知教育内部资料 中小学课外辅导专家

三角函数典型习题

1 ．设锐角?ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,a?2bsinA.

(Ⅰ)求B的大小; (Ⅱ)求cosA?sinC的取值范围.

2 ．在?ABC中,角A,B,C所对的边分别为a，b，c,sinA?BC?sin?2. 22（I）试判断△ABC的形状;

（II）若△ABC的周长为16,求面积的最大值.

23 ．已知在?ABC中,A?B,且tanA与tanB是方程x?5x?6?0的两个根.

(Ⅰ)求tan(A?B)的值; (Ⅱ)若AB?5,求BC的长.

4．在?ABC中,角A． B．C所对的边分别是a,b,c,且a?c?b?2221ac. 2(1)求sin2A?C?cos2B的值; 2(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.

5．已知函数

?π??ππ?f(x)?2sin2??x??3cos2x，x??，?．

?4??42?（1）求f(x)的最大值和最小值；

（2）f(x)?m?2在x??，?上恒成立，求实数m的取值范围．

426．在锐角△ABC中,角A． B．C的对边分别为a、b、c,已知(b2?ππ????c2?a2)tanA?3bc.

(I)求角A;

(II)若a=2,求△ABC面积S的最大值?

7．已知函数f(x)?(sinx?cosx)2+cos2x.

(Ⅰ)求函数f?x?的最小正周期;

???(Ⅱ)当x??0,?时,求函数f?x?的最大值,并写出x相应的取值.

?2?8．在?ABC中,已知内角A． B．C所对的边分别为a、b、c,向量

m?2siBn?,??,n3???cos2B,2cos?2B??1?,且m//n? 2?(I)求锐角B的大小;

(II)如果b?2,求?ABC的面积S?ABC的最大值?

用心 爱心 专心

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答案解析

1【解析】:(Ⅰ)由a?2bsinA,根据正弦定理得sinA?2sinBsinA,所以sinB?由?ABC为锐角三角形得B?1, 2π. 6(Ⅱ)cosA?sinC?cosA?sin????????A? ??????cosA?sin??A?

?6?13?cosA?cosA?sinA

22????3sin?A??.

3??2【解析】:I.sin??C2?sinCCCC??cos?sin?2sin(?) 22224?C?????即C?,所以此三角形为直角三角形. 2422II.16?a?b?a2?b2?2ab?2ab,?ab?64(2?2)2当且仅当a?b时取等号,

此时面积的最大值为326?42.

23【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程x?5x?6?0的两根tanA?3,tanB?2.

??tan(A?B)?∴

tanA?tanB2?3???1

1?tanAtanB1?2?3?A?B?C?180,∴(Ⅱ)∵C?180??(A?B).

由(Ⅰ)知,tanC??tan(A?B)?1,

C为三角形的内角,∴∵sinC?2 23, 10tanA?3,A为三角形的内角,∴sinA?∵

由正弦定理得:

ABBC? sinCsinA用心 爱心 专心

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∴

BC?52?310?35. 28【解析】:(1) m//n ? 2sinB(2cos2B

2-1)=-3cos2B ?2sinBcosB=-3cos2B ? tan2B=-3

∵0<2B<π,∴2B=2ππ

3,∴锐角B=3 (2)由tan2B=-3 ? B=π5π3或6 ①当B=π3时,已知b=2,由余弦定理,得:

4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立) ∵△ABC的面积S1 acsinB=3△ABC=24ac≤3 ∴△ABC的面积最大值为3

②当B=5π6时,已知b=2,由余弦定理,得:

4=a2+c2+3ac≥2ac+3ac=(2+3)ac(当且仅当a=c=6-2时等号成立) ∴ac≤4(2-3)

∵△ABC的面积S1 acsinB=1

△ABC=24ac≤ 2-3 ∴△ABC的面积最大值为2-3

4【解析】:(1) 由余弦定理:cosB=1

4

sin2A?C2+cos2B= ?14

(2)由cosB?14,得sinB?154. ∵b=2, a2+c2=181152ac+4≥2ac,得ac≤3, S△ABC=2acsinB≤3(a=c时取等号)

故S15△ABC的最大值为

3 5【解析】（Ⅰ）∵f(x)????π?1?cos??2?2x???????3cos2x?1?sin2x?3cos2x?1?2sin??π??2x?3??．

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又∵x??ππ?ππ2π??4，2??，∴6≤2x?3≤3，

即2≤1?2sin??2x?π??3??≤3， ∴f(x)max?3，f(x)min?2．

（Ⅱ）∵f(x)?m?2?f(x)?2?m?f(x)?2，x???ππ??4，2??，

∴m?f(x)max?2且m?f(x)min?2，

∴1?m?4，即m的取值范围是(1，4)．

b2?c26【解析】:(I)由已知得?a2sinA332bc?cosA?2?sinA2 又在锐角△ABC中,所以A=60°,[不说明是锐角△ABC中,扣1分] (II)因为a=2,A=60°所以b2?c2?bc?4,S?12bcsinA?34bc 而b2?c2?2bc?bc?4?2bc?bc?4 又S?12bcsinA?34bc?34?4?3 所以△ABC面积S的最大值等于3

7【解析】:(Ⅰ)因为f(x)?(sinx?cosx)2+cos2x?sin2x?2sinxcosx?cos2x?cos2x ?1?sin2x?cos2x ( ) =1+2sin(2x??4)

所以,T?2?2??,即函数f(x)的最小正周期为? (Ⅱ)因为0?x??5?2,得

?4?2x??4?4,所以有?22?sin(2x??4)?1 ?1?2sin(2x??)?2,即0?1?2sin(2x??44)?1?2

所以,函数f?x?的最大值为1?2 此时,因为?4?2x??4?5?4,所以,2x????4?2,即x?8

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