2019届高考数学总复习模块五解析几何第16讲圆锥曲线中的最值范围证明问题学案理

设P , m≠-且m≠,则M的横坐标为m,∴|AM|= .

2222

由题可知直线PN的方程为y-=-(x-m),与y=2x+联立,可得xN= 2 - ,

228

1

∴|AN|= 2

2 2 1 1

1 1

-

12 = 2 , 2 1

则 =5 ,故 =|AF|.

2

2

[备选理由] 例1为考查点到直线的距离的最值问题,本题的难点在于转化条件得到动点P的轨迹,对于四边形ABCD的面积为2的转化,最好是把这个四边形的面积分成两个三角形的面积来求解;例2为考查向量数量积的取值范围的问题,是求圆锥曲线中范围问题的巩固训练;例3的本质是证明线段相等,涉及椭圆的轨迹问题,运算量大,字母量多,综合考查学生的推理能力、运算求解能力.

例1 [配例1使用] 已知椭圆M:2+ =1(a>b>0)的离心率为2,A,B分别为M的右顶点和上顶 2点,且|AB|= . (1)求椭圆M的方程;

(2)若C,D分别是x轴负半轴、y轴负半轴上的点,且四边形ABCD的面积为2,设直线BC和AD的交点为P,求点P到直线AB的距离的最大值. 解:(1)由=,c=a-b,得a=2b.

2

2

2

2

2 2 又|AB|= 2 2 = ,所以b=1,a=2.

2 所以椭圆M的方程为+y=1.

2

(2)设P(x0,y0),C(s,0),D(0,t),其中s<0,t<0.因为A(2,0),B(0,1), 所以

-1-10

=,0 = ,得 -2-200

t=-0,s=-0.

0-2

2 0-1

由四边形ABCD的面积为2,得(2-s)(1-t)=4, 即 2

2 0

1 0 =4, 0-10-2

2

2

即(x0+2y0-2)=4(x0-2)(y0-1),整理得2 0+4 0=4,所以易知,点P在第三象限的椭圆弧上.

13

设与AB平行的直线y=-2x+m(m<0)与椭圆M相切.

1

2 ,

消去y得x2-2mx+2m2-2=0,令Δ=8-4m2=0,得m=- 2. 由 1

- ,

2

2

所以点P到直线AB的距离的最大值为2

2 1 2 2 101 1

=

.

2

2

例2 [配例2使用] 已知曲线C:y=4x,曲线M:(x-1)+y=4(x≥1),直线l与曲线C交于A,B两点,O为坐标原点.

(1)若 · =- 4,求证:直线l恒过定点; (2)若直线l与曲线M相切,求 · 的取值范围 .

解:(1)证明:由已知,可设l:x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2),

,2由 2得y-4my-4n=0, ,∴y1+y2=4m,y1· 2=-4n, ∴x1+x2=4m2+2n,x1·x2=n2.

∴由 · =- 4,可得x1·x2+y1· 2=n2-4n=-4,解得n=2. ∴直线l的方程为x=my+2, ∴直线l恒过定点(2,0).

(2)∵直线l与曲线M相切,M(1,0),显然n≥ ,

∴ 1- 1 22

=2,整理得4m=n-2n-3.① 2由(1)及①可得,

· = (x1-1,y1)·(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=n-4m-2n+1-4n

2

2

=n2-4m2-6n+1=4-4n,

∵n≥ ,∴ · ≤ -8,即 · 的取值范围是 (- ,-8].

例3 [配例3使用]△ABC中,O是BC的中点,|BC|=3 2,其周长为6+3 2,若点T在线段AO上,且|AT|=2|TO|.

(1)建立合适的平面直角坐标系,求点T的轨迹E的方程;

(2)若M,N是射线OC上不同的两点,|OM|·|ON|=1,过点M的直线与E交于点P,Q,直线QN与E交于另一点R,证明:△MPR是等腰三角形.

14

解:(1)以BC所在直线为x轴,O为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示,则|AB|+|AC|=6>|BC|,所以点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆.设点A的轨迹方程为

2 2 2 2 +=1(y≠0,a>b>0),

则2a=6,2c=3 2, 所以a=3,c= 22

,

所以b=a-c=, 2

2 2 2

222

所以点A的轨迹方程为 + =1(y≠0).

设T(x,y),因为点T在线段AO上,且|AT|=2|TO|,

所以A(3x,3y),代入+ =1,整理可得点T的轨迹E的方程是x+2y=1(y≠0).

22 2 2

2

(2)证明:设M(m,0)(m>0),由 O · ON =1得N ,0 ,设Q(x1,y1),P(x2,y2),R(x3,y3).由题意,直线QM不与坐标轴平行,kQM=1,直线QM的方程为y=1(x-m).与椭圆E的方程联立,消去y,

2222并结合2 1+2 1=1,整理得(m+1-2mx1)x-2m(1- 1)x+(2mx1- 1-m 1)=0,

2

2

2

1

1- 1- 所以x1x2=21

222 -2 1- 1

1-2 1

.

同理x1x3=2

222

2 1- 1- 1

1-2 1

=x1x2,

所以x2=x3或x1=0. 当x2=x3时,PR⊥x轴, 当x1=0时,x2=2,x3= 1

2 2·

12

1

1

=2=x2,PR⊥x轴. 1

2 若PR⊥x轴,则由椭圆的对称性知,|MP|=|MR|, 所以△MPR是等腰三角形.

15