线性代数习题册参考解答

合肥工业大学 《线性代数》习题册参考解答 何先枝

111?1?111【解】∵A*X?A?1?2X，|A|??11r2?r1r3?r21120?10?4，AA*?|A|E?4E， 2?00∴左乘A可得AA*X?AA?1?2AX，即4X?E?2AX， (4E?2A)X?E。 于是，X?[2(2E?A)]?1??1?2E?A??1??1??11122012(2E?A)?1。

?11111011?1201?2?4， 21?1??1?，|2E?A|?1?11??0??1?1?2?，故X??04??2??1?1?010??1?。■ 1??0(2E?A)?1?21???04??20011?5??210、设A??0??0?21000??0?4?1，求及|A|。 A??2?1???2??1?1??B?，则???21???2??1/3?1??,C????1/35??2/3??， ?1/3?【解】设B???2??52??1??,C???11??由分块对角阵逆阵公式可得： ?1A?1?B??????C???B?1?????1????2???1?C??0??0?4?2500001/3?1/30??0?。 2/3??1/3?? |A|?|A|?(|B||C|)?(1?3)?81。■

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第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 1、求下列矩阵的秩： ?1??2（1）A??3??0??1?203246012?100??0?； ?1?1??444第 9 页 共 36 页

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?1??0（2）B??2??3?11351?1a11??b?。 ?4?7??【解】初等变换法。

?1??2（1）∵A??3??0??1?r4?r3?0??0??0??1?203?10302460200012?1010?440??1??0?r2?2r1?0?1?r3?3r1?0????01??0??1??0??0??01?????00???1033?13002000200010?401?4400??0? ?1?1??0??1?（行阶梯形）， 0??0?? ∴r(A)?3。 ?1??0 （2）∵B??2??3??1?r4?r3?0??0??0?113511001?1a11?1a?101??1??b?r3?2r1?0?4?r4?r1?r3?0????07??111111?1a?2?a1??1??b?r3?r1?0?2?r4?r2?0????02??11001?1a?11?a??b? 2?b??2?b??1??b?，

2?b??2(2?b)???2,? ∴r(B)??3,?4,??a??12、已知矩阵A??1??1?1a11a?1,b?2,a?1,b?2ora?1,b?2,■

a?1,b?2.11a11??1?的秩为3，求a的值。 1??a??【解】行列式法。

∵|A|?(a?3)(a?1)， ∴当a??3,1时，r(A)?4； 当a?1时，r(A)?1；

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a1a111?(a?2)(a?1)?0，故r(A)?3。■ a2当a??3时，注意|A|?0，A11?113、设A为3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到B，再把B的第2列加到第3列得到C，求满足AQ?C的可逆阵Q。

?1?【解】∵C?AE12E32(1),∴Q?E12E32(1)?E12?0?0?0100??0??1???1?1???01001??0?. 1??注意：对换阵，数乘阵关于行列是对称的，而倍加阵关于行列不对称！■ 4、解方程组：

???x1?x2?x3?x4?1,??（1）?x1?x2?x3?3x4?0, （2）?x1?x2?x3?x4?0, ??x?x?2x?3x?0;1234?1x?x?2x?2x??.1234?2?x1?x2?x3?x4?0,【解】（1）对系数矩阵作初等行变换化为行最简形： ?1?A??1?1??1???0r2/r3?k?0?r2/2?1?1?1?100?11?2?1101??1?r2?r1??3???0r3?r2??03??1??1?r1?r2??2???0?00????100?100?12?30101???4? 6???1???2?，r(A)?2?4?n， 0???x1??x2故原方程组有非零解，其通解为??x3?x?4?x2?x4,?x2,?2x4,?x4,即

?1??1?????1????0?x?c1???c2??02?????0??1?????(c1,c2?R)。

注：检验基础解系。

（2）对增广矩阵作初等行变换化为行最简形：

??1?(A|b)??1??1??1?1?11?1?2?112??1??1r2?r10???01?r3?r2??0??2???1001?2?1?121?1??1? 1???2?第 11 页 共 36 页

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?1???0??0??100110?110??11??1?r1?r2????0?2???00????100010?2103??2?1??， 2?0????r(A)?r(A,b)?2?4?n，故原方程组有解，且有无穷多解，其通解为

??x1??x2??x3???x4?x2?2x4??x2,??x4??x4,12,32,?1??2??3/2?????????1??0??0?即x?c1???c2??0?1???1/2????????0??1??0???????(c1,c2?R)。■ 5、确定?取何值时，线性方程组

x1?x3??,???4x1?x2?2x3???2, ?6x?x?4x?2??323?1有解，并求全部解。

【解】对增广矩阵作初等行变换化为行阶梯形：

?1??(A|b)??4?6?r3?4r20110101241?20??1?r2?4r1???2???0r3?6r1??02??3???0111?2?2???3??2? ?4??3????1???0?0????3??2??B。 1??????由线性非齐次方程组解的判定定理可知：当??1时，r(A)?r(A,b)?2?3?n，方程组有解，且有无穷多解。

?1?此时，B??0?0?0101?201???1?为行最简形，由此可得通解为 0???x1???1??1???????x?c2??1?2?????(c?R)。■ ?x??1??0??3?????6、?取何值时，线性方程组

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