对角化矩阵的应用本科

?2????????2A~B???,

0???????0????与r(A)?r,所以A的秩数就是2的个数,以及A有r个2和(n?r)个0的特征值. 2.5在向量空间中应用

例6[9]在n维的V空间中,有一个复矩阵，并且它的阶数为n阶，还有一个复数?, 令

W1??(?E?A)???V?,W2????V(?E?A)??0?,

则矩阵A相似于对角阵,并且W1?W2??0?.

证明 因为对于任意一个X0?W1?W2,则有X0?(?E?A)?和(?E?A)X0?0,所以(?E?A)2??0.又因为发现矩阵A相似于对角阵,所以我们可以推出(?E?A)X0?0与(?E?A)2??0两个的解空间是完全相同的，即W1?W2??0?． 2.6在线性变换中应用

例7[10] 设P[X]n?n?1?是数域P上的一个全体,且它是一个次数小于n的多项式与零多项式，则请通过所学的进一步判断在P[X]n的任一组基下，矩阵通过微分变换?能否变为对角形矩阵．

证明 如果取

XXn?1, 1，X，，?，?n?1?!2!?0En-1?n那么矩阵可以表示为?,所以有. ?E?A????00? 如果在某一组基的作用下，微分变换?的矩阵B为对角矩阵,由已知的矩阵

A~B可推出矩阵A可对角化,那么就会存在一个可逆矩阵T能够使得T?1AT?B,所以A?TBT?1.

通过已知的微分变换?的全为零,可以推出B?0,A?0这是不可能的,所以在

P[X]n的任何一组基的作用下，微分变换?的矩阵都不可能成为对角阵．

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2.7求数列通项公式与极限

例8[11] 设两个数列?pn?,?qn?都满足条件pn?1?pn?2qn,qn?1?pn?qn,p1?q1?1,

p则请求解limn.

n??qn解 把已知条件中的几个递推关系组pn?1?pn?2qn,qn?1?pn?qn,通过化简改写成下面的列矩阵的形式：

?pn?1??12??pn??12??p1??q???11??q?????11??q?,

??n????1??n?1??n?12?由A???和?E?A?0,可以求出A的?1?1?2,?2?1?2,并且?1，?2分别对应11??X1?(2,1)T,X2?(?2,1)T.取X?(X1,X2),则

X?1??1?22??11?1?22?A?X,??2??0??1?X, 1?2?0从而

?1?2?pn?1??X??q??n?1??0?(1?1??0??1??X????1?2??1??(1???n2)n?1?(1?2n?12)?(1?22)n?1???, n?12)???因此

(1?2)n?(1?2)n(1?2)n?(1?2)n,qn?, pn?22并且

pn2(1?2)n?2(1?2)nlim?lim?2. nnn??qn??(1?2)?(1?2)n例9 已知a1??,b1??(???),an?1?n??n??an?bna?b,bn?1?n?1n(n?1,2,?)这四个条22件,请证明liman及limbn存在并且相等,给出证明过程，同时请求出这两个的极限值. 证明 把已知条件中的递推关系组作进一步简化推出

aba3ban?1?n?n,bn?1?n?n,

2244然后再改写为另一种矩阵的形式：

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?1?an?1??2?b???1?n?1???41??12??an?????2?1?3??b??n??4??41?2??a1?,

?3??b??1?4?n?1?由A??21??41?2?和?E?A?0,可以求出A的??1，??1,并且?，?分别对应

12123?4?4?TT??21?X1???2，1?,X2??1，1?,取X??X1,X2????,则 11???1??3?1X??1??31?3?,A?X2??3??1??40?X?1, ?01???因为

所以

122??1211????n???????na????an?1?01?1343343?b??X?4?,X?b???111112????,

?01??1??????n?1??n??????n?343343?

?121??122??121??122?an?1????n????????n????,bn?1????n???????n????,

?343??343??343??343?即

12liman?????limbn. n??n??33例10 设有x0?1,x1?e,xn?1?xn?xn?1(n?1)这三个条件,请求出limxn.

n??解 从已知的三个条件可以推出xn?0(n?1,2,?),以及lnxn?1?令an?lnxn,则a0?0,a1?1,an?1??an?1??1?a???2?n???11(an?an?1)(n?1),所以 21(lnxn?lnxn?1),21??a??1n2??a?????2?10???n?1??1??a?1?2?a?, 0???0?n?1由A??2?1?1?1?和,求得的,并且?1，?2分别对应?E?A?0A??1，???21220??1TX1?(1，1)T,X2?(?，1).取X?(X1,X2),令

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X则

?12?31???10?1?1?2?,A?X?0?1?X, ??11??2??????an?1??a??X?n??10?1?X?1?0???2??n1n?1??1?(?)??1?2?2?, ?0??3?1???1?(?)n?2??221(1?(?)n)21n2从而推出：an?(1?(?)),即xn?e3,limxn?e3.

n??32

例11 设x1?1,xn?1?1,求limxn.

n??1?xn解 令xn?阵

an1,根据条件xn?1?,将其简化为an?2?an?1?an,然后再写成矩an?11?xnn?1?an?1??a???n??11??an??11??10??a?????10????n?1????a2??a?(n?2), ?1??11?1?51?5由A??和,求出的????，????,且?1，?2分别对应?E?A?0A12?1022????的是X1?(?，1)T,X2?(?，1)T,取X?(X1,X2)???1?an?1????X?a??0??n?0??1X???n????,则A?X?01???0??1X, ????1?1??n?2??n?2?, ?n?1?1??n?1?5???????即

limxn?limn??an????limn?2n??an?????n?2n?1n?1n?1?15?1?. ?lim??n???n?1?2???()?1?()n?12.8求行列式的值

例12[12] 设有一个n阶的行列式，化简并求出它的值.

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