对角化矩阵的应用本科

(2)A1?A2???At?E,E是单位矩阵；

2(3)A?Ai； i

?1(4),其中. A?TBTAA?0,i?jiiij

证明 （1）如果A可对角化,那么在数域P上一定会存在一个可逆矩阵T,并且

它的阶数为n阶，满足

0???1???2?1??B, TAT???????0?t??其中?i的重数为si,由于矩阵

?1????????1B??1??????t0???????0?????0????????0??,

1???????1????将它记为?1B1??2B2????tBt,因此，

A?TBT?1?T(?1B1??2B2????tBt)T?1??1(TB1T?1)????t(TBtT?1),

将其记为?1A1??2A2????tAt,其中A?TBiT?1,所以

A??1A1??2A2????tAt.

(2)如果每个Bi为对角形的幂矩阵,那么B1?B2???Bt?E,

A1?A2???At?TB1T?1?TB2T?1???TBtT?1?TET?1?E,

故A1?A2???At?E.

?1

(3)如果Ai?TBiT,那么

Ai?(TBiT?1)(TBiT?1)?TBiT?1TBiT?1?TBiBiT?1?TBiT?1?TBiT?1?Ai,

故Ai2?Ai.

(4)当i?j时,

22AiAj?(TBiT?1)(TBjT?1)?TBiT?1TBjT?1?TBiBjT?1?0,

0为零矩阵,故AiAj?0,i?j.

?15115??的三个特征根分别是1,2,3,则一定例1 在数域P上，若已知A??20?158????8?76????65?2??231??100??,满足T?1AT??020??B,其中T?1??4?31?,将矩阵 342会有一个T????????????1?11???112???003??第 4 页 共 16页

?1??0??0???2?1??3?0?, B??0?????????0?0?1???????记B1?2B2?3B3,则

A?TBT?1?T(B1?2B2?3B3)T?1?A1?2A2?3A3，

?1其中Ai?TBiT,于是

??1210?4??12?93??1?11??,A??16?124?,A??2?22?, A1???1815?6??2??3???????65?2???4?31???2?22??并且满足：

(1)A?A1?2A2?3A3；

(2)A1?A2?A3?E；

2(3)A?Ai(i?1,2,3)； i

(4)AiAj?0,i?j.

可以通过一个比较具体的可对角化矩阵,很直观地反映上述所说的性质是成立的. 1.3 矩阵对角化的方法

1.3.1 运用矩阵初等变换的方法

在数域P上,一个n维空间V,研究和探讨它能否可以找到一组基，并且在此基的作用下，所有的矩阵都是对角化的矩阵；发现这种基存在时, 如何去探索它是一个线性代数学上相当重要的问题,可以利用矩阵的初等变换的方法来解决此问题.

当发现矩阵A不能够实现对角化的时候,同样可以经过相近的一系列变换后，化

1?1简出矩阵A,并且能够判定它是否可以对角化.类似地,可有矩阵T?1?Qs?1Qs??1?Q1E,

做如下的初等变换,则可以将矩阵A化简为对角形矩阵B,并且可以求得T或由B求

A的一系列特征值.

1.3.2 求解齐次方程组的方法

设矩阵A是实对称矩阵,则求证交矩阵T使得T?1AT?diag(?1,?2,?,?n)的问题,一般的解法为：

(1)求其特征值；

(2)求其对应的特征向量；

(3)写出矩阵T及T?1AT?diag(?1,?2,?,?n).

从而可以求出正交矩阵T,可以避免了商的繁琐运算.

定理5[7] 设A是实对称矩阵,则有?1，?2(n?1重),?1，?2，?3，?，?n对应于

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?1，?2,记L(?1)由?1生成的一个空间,且L(?2，?3，?，?n)由?2，?3，?，?n生成的空间.

2对角化矩阵的应用

2.1求方阵的高次幂

例2 设在数域P上，有一个二维的线性空间V,?1，?2是这个线性空间V的一组

?21?基,那么线性变换?在?1，?2这组基的作用下的矩阵A??,试通过上述给出的???10?条件计算出矩阵Ak.

解 通过分析上述的条件，我们应该先计算线性变换?在线性空间V的另一组基?1，?2作用下的矩阵,令

??1,?2????1,?2???则

?11?1??, ?12???1?1??21??1?1??21??21??1?1??11???12???10???12???11???10???12???01?, ??????????????易知

?11??1k??01???01?, ????再运用上面得出的几个关系

?1?1??21??1?1??11???12???10???12???01?, ?????????1k即

k??21??1-1??11??1?1??1?1??1k??21??k?1????-10??-12??01???12???12??01??11???k?k?1?.

????????????????kk?1

2.2反求矩阵

例3 设有一个实对称矩阵A，且它的阶数为3阶，已知?1??1，?2??3?1,?1对

T应于P,求解A． ?(0,1,1)1第 6 页 共 16页

解 根据矩阵A是3阶实对称矩阵的条件,我们可以推出矩阵A可以对角化的结论,即得出矩阵A是由三个线性无关的特征向量组成的结论,并且?2??3?1对应于

P?(X1,X2,X3)T,因为它和P1正交,即

P?P1?0X1?X2?X3?0,

所以可以求出P2?(1,0,0)T，P,?1)T,它们分别对应?2??3?1.取 3?(0,1?010???100??01?，B??010?, P?(P1,P2,P3)??1??????10-1???001??则P?1AP?B,于是

??010???100??0??010??1A?PBP?1??101???????10?1????001???0??120121??100?2??. 0???00?1???1????0?10??2??2.3判断矩阵是否相似

例4 请判断下述三个矩阵是否会相似

?200??210??201??,A??021?,A??020?. A1??020??2??3??????003???003???003??解 我们可以很容易的得出三个矩阵A1,A2,A3的特征值分别都是?1?2(二重),?2?3,其中矩阵A1已经是对角阵,所以我们只需要进一步判断两个矩阵A2,A3是否都可以对角化.通过?1?2,(2E?A2)X?0,可以推出?1?(1,0,0)T,因为?1?2,是一个二重的特征值,但是却只有一个特征向量与之所对应,那么我们可以推出矩阵

A2与矩阵A1不相似的结论.通过?1?2,(2E?A3)X?0,得出?1?(1,0,0)T,?2?(0,1,0)T,

通过?2?3，(3E?A3)X?0,得出?3?(1,0,1)T,通过上述所推出的结论，我们可知矩阵A3有三个线性无关的特征向量,即矩阵A3与矩阵A1这两个矩阵相似. 2.4求特殊矩阵的特征值

例5[8] 设有一个实对称矩阵A，并且它的阶数为n阶，满足A2?2A,r(A)?r?n,求出A的全部特征值．

解 假设?为矩阵A的一个特征值,而我们令?为矩阵A的特征向量,它对应于特征值?，因为A????,所以A2??A????2?,又因为A2?2A,所以A2??2A??2??,即?2?2?,由此我们可以推出??2或0,根据矩阵A是实对称矩阵的这个条件,我们可以断定矩阵A一定能够进行对角化,即

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